Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(x² + 8x) − x).

f(x) = √(x² + 8x) − xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(3x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 5x)/(3x²)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x³·e^2x. Найдите f′(1).

f(x) = x³·e^2xx = 1

f′(1) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ + 9x² + 24x − 5. Найдите x-координату x локального максимума.

f(x) = x³ + 9x² + 24x − 5

x =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 200 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €25 за метр, остальные три стороны — €5 за метр. Найдите длину x стороны вдоль улицы, при которой стоимость минимальна.

A = 200 m²€25/m€5/m

x = m

6.ОптимизацияСложная

Театр продаёт 625 билетов на спектакль по €15 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 25 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 25 больше). Найдите максимальную выручку R за спектакль.

625 × €1525 / €1

R = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

8.ИнтегралыСложная

Вычислите I = ∫₀¹ x²·eˣ dx.

∫₀¹ x²eˣ dx

I =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 4

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = 8x/(√(x² + 8x) + x)

Разделите на x

f(x) = 8/(√(1 + 8/x) + 1)

Пусть x → ∞

L = 8/(1 + 1) = 4

Ответ

L = 4

2.Пределы

Ответ: L = 4,167

Первое применение

5·sin 5x/(6x) → 0/0

Второе применение

25·cos 5x/6

Подставьте x = 0

L = 25/6 = 4,167

Ответ

L = 4,167

3.Производные

Ответ: f′(1) = 36,95

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(3x² + 2·x³)

Подставьте

f′(1) = 7,389·(3 + 2) = 36,95

Ответ

f′(1) = 36,95

4.Производные

Ответ: x = −4

Производная

f′(x) = 3x² + 18x + 24 = 3·(x² + 6x + 8)

Решите f′(x) = 0

x = −4 или x = −2

Что есть что

f″(x) = 6x + 18: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−4) = −6, f″(−2) = 6

x = −4

Ответ

x = −4

5.Оптимизация

Ответ: x = 8,165 m

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 30x + 2000/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 4000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(2000/30) = 8,165 m

y = 200/8,165 = 24,49 m

Минимальная стоимость

C = 30·8,165 + 2000/8,165 = €489,9

Ответ

x = 8,165 m

6.Оптимизация

Ответ: R = 10000 €

Выручка как функция цены

n(p) = 1000 − 25p

R(p) = 1000p − 25p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −50 < 0, поэтому это максимум.

p = 1000/50 = €20

Максимальная выручка

n = 1000 − 25·20 = 500

R = 20·500 = €10000

Ответ

R = €10000

7.Интегралы

Ответ: I = 156

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Замена переменной

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

Проинтегрируйте и подставьте пределы

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

Ответ

I = 156

8.Интегралы

Ответ: I = 0,7183

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Первый шаг

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Второй шаг

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Пределы

2,718·(1) − 1·2 = 0,7183

Ответ

I = 0,7183

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1