Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (√(x2 + 2x) − x).

f(x) = √(x2 + 2x) − xx → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (1 − cos 2x)/(x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 2x)/(x²)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 2

Пусть f(x) = x·sin(2x), x в радианах. Найдите f′(2).

f(x) = x·sin(2x)x = 2 rad
f′(2) =
4.ПроизводныеСложная
xy

Пусть f(x) = x3 − 12x2 + 36x + 4. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x3 − 12x2 + 36x + 4
x =
5.ОптимизацияСредняя
xhxбез крышки

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 32000 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите сторону дна x.

V = 32000 cm³
x = cm
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 90 − 2q евро за единицу, а затраты C(q) = 400 + 15q евро. Найдите цену p, максимизирующую прибыль.

p = 90 − 2qC = 400 + 15q
p = €
7.ИнтегралыСредняя
xyπ/3y = x·cos x

Вычислите I = ∫₀π/3 x·cos x dx (x в радианах).

∫₀π/3 x·cos x dx
I =
8.ИнтегралыСложная
xyy = 0,5x2​y = 3x

Найдите площадь A области, ограниченной y = 0,5x2 и y = 3x.

y = 0,5x2y = 3x
A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 1

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = 2x/(√(x2 + 2x) + x)

Разделите на x

f(x) = 2/(√(1 + 2/x) + 1)

Пусть x → ∞

L = 2/(1 + 1) = 1

Ответ

L = 1
2.Пределы

Ответ: L = 2

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

2·sin 2x/(2x) → 0/0

Второе применение

4·cos 2x/2

Подставьте x = 0

L = 4/2 = 2

Ответ

L = 2
3.Производные

Ответ: f′(2) = −3,371

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Подставьте

f′(2) = −0,7568 + 4·(−0,6536) = −3,371

Ответ

f′(2) = −3,371
4.Производные

Ответ: x = 6

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Производная

f′(x) = 3x2 − 24x + 36 = 3·(x2 − 8x + 12)

Решите f′(x) = 0

x = 2 или x = 6

Что есть что

f″(x) = 6x − 24: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(2) = −12, f″(6) = 12
x = 6

Ответ

x = 6
5.Оптимизация

Ответ: x = 40 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 128000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 64000 → x = 40 cm

Высота и площадь

h = 32000/40² = 20 cm
S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²

Ответ

x = 40 cm

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: p = 52,5 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = (90 − 2q)·q − (400 + 15q) = −2q2 + 75q − 400

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −4 < 0, поэтому это максимум.

q = 75/4 = 18,75

Цена и прибыль

p = 90 − 2·18,75 = €52,5
P = 75·18,75 − 2·18,75² − 400 = €303,1

Ответ

p = €52,5
7.Интегралы

Ответ: I = 0,4069

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Первообразная

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Пределы

(π/3·sin π/3 + cos π/3) − (0 + 1) = 0,4069

Ответ

I = 0,4069
8.Интегралы

Ответ: A = 18

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

0,5x2 = 3x → x = 0, x = 6

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [1,5x2 − 0,1667x3]06 = 18

Ответ

A = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1