Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (3x³ − 5x − 9)/(3x³ + 6x + 8).

f(x) = (3x³ − 5x − 9)/(3x³ + 6x + 8)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 3x)/(x²)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·sin(2x), x в радианах. Найдите f′(1,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 0,5x² − 3 в точке x = 1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 0,5x² − 3x = 1

b =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 800 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €40 за метр, остальные три стороны — €12 за метр. Найдите длину x стороны вдоль улицы, при которой стоимость минимальна.

A = 800 m²€40/m€12/m

x = m

6.ОптимизацияСложная

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €20 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 400 + 4q + 0,05q² евро. Найдите объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = €20C = 400 + 4q + 0,05q²

q = ед.

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀^π/3 x·cos x dx (x в радианах).

∫₀^π/3 x·cos x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = x² и y = x.

y = x²y = x

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 1

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(3 + (−5)/x² + (−9)/x³)/(3 + 6/x² + 8/x³)

Пусть x → ∞

L = 3/3 = 1

Ответ

L = 1

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 4,5

Первое применение

3·sin 3x/(2x) → 0/0

Второе применение

9·cos 3x/2

Подставьте x = 0

L = 9/2 = 4,5

Ответ

L = 4,5

3.Производные

Ответ: f′(1.5) = −2,829

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Подставьте

f′(1,5) = 0,1411 + 3·(−0,99) = −2,829

Ответ

f′(1,5) = −2,829

4.Производные

Ответ: b = −3,5

Точка и наклон

f(1) = −2,5

f′(x) = x → f′(1) = 1

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2,5 − 1·1 = −3,5

Ответ

b = −3,5

5.Оптимизация

Ответ: x = 19,22 m

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 52x + 19200/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 38400/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(19200/52) = 19,22 m

y = 800/19,22 = 41,63 m

Минимальная стоимость

C = 52·19,22 + 19200/19,22 = €1998

Ответ

x = 19,22 m

6.Оптимизация

Ответ: q = 160 ед.

Функция прибыли

P(q) = 20q − (400 + 4q + 0,05q²) = −0,05q² + 16q − 400

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,1 < 0, поэтому это максимум.

16 − 0,1q = 0 → q = 160

Максимальная прибыль

P = 16·160 − 0,05·160² − 400 = €880

Ответ

q = 160

7.Интегралы

Ответ: I = 0,4069

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Первообразная

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Пределы

(π/3·sin π/3 + cos π/3) − (0 + 1) = 0,4069

Ответ

I = 0,4069

8.Интегралы

Ответ: A = 0,1667

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

x² = x → x = 0, x = 1

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [0,5x² − 0,3333x³]₀¹ = 0,1667

Ответ

A = 0,1667

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1