Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (√(4x2 − 8x) − 2x).

f(x) = √(4x2 − 8x) − 2xx → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (1 − cos 2x)/(2x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 2x)/(2x²)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = −1

Пусть f(x) = ln(x2 + 2). Найдите f′(−1).

f(x) = ln(x2 + 2)x = −1
f′(−1) =
4.ПроизводныеСложная
xy

Пусть f(x) = x3 + 6x2 + 9x. Найдите x-координату x локального максимума.

f(x) = x3 + 6x2 + 9x
x =
5.ОптимизацияСредняя
xhxбез крышки

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 13500 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите высоту h.

V = 13500 cm³
h = cm
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 60 − 0,25q евро за единицу, а затраты C(q) = 1300 + 10q евро. Найдите недельный объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = 60 − 0,25qC = 1300 + 10q
q = ед.
7.ИнтегралыСредняя
xy03

Вычислите I = ∫03 e−x dx.

f(x) = e−x[0, 3]
I =
8.ИнтегралыСложная
xy1,5y = 3xy = 2x²

Область между прямой y = 3x и параболой y = 2x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 3xy = 2x²
V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −2

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = −8x/(√(4x2 − 8x) + 2x)

Разделите на x

f(x) = −8/(√(4 + (−8)/x) + 2)

Пусть x → ∞

L = −8/(2 + 2) = −2

Ответ

L = −2
2.Пределы

Ответ: L = 1

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

2·sin 2x/(4x) → 0/0

Второе применение

4·cos 2x/4

Подставьте x = 0

L = 4/4 = 1

Ответ

L = 1
3.Производные

Ответ: f′(−1) = −0,6667

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 2x/(x2 + 2)

Подставьте

f′(−1) = −2/3 = −0,6667

Ответ

f′(−1) = −0,6667
4.Производные

Ответ: x = −3

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Производная

f′(x) = 3x2 + 12x + 9 = 3·(x2 + 4x + 3)

Решите f′(x) = 0

x = −3 или x = −1

Что есть что

f″(x) = 6x + 12: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−3) = −6, f″(−1) = 6
x = −3

Ответ

x = −3
5.Оптимизация

Ответ: h = 15 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 54000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Высота и площадь

h = 13500/30² = 15 cm
S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Ответ

h = 15 cm

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: q = 100 ед.

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = (60 − 0,25q)·q − (1300 + 10q) = −0,25q2 + 50q − 1300

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,5 < 0, поэтому это максимум.

q = 50/0,5 = 100

Цена и прибыль

p = 60 − 0,25·100 = €35
P = 50·100 − 0,25·100² − 1300 = €1200

Ответ

q = 100
7.Интегралы

Ответ: I = 0,9502

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = e−x/(−1)

Подставьте пределы

I = (e−3 − 1)/(−1) = (0,04979 − 1)/(−1) = 0,9502

Ответ

I = 0,9502
8.Интегралы

Ответ: V = 12,72

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

3x = 2x² → x = 0, x = 1,5

Метод колец (шайб)

V = π∫₀1,5 ((3x)² − (2x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(9·1,5³/3 − 4·1,5⁵/5) = π·4,05 = 12,72

Ответ

V = 12,72

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1