Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (√(x2 − 6x) − x).

f(x) = √(x2 − 6x) − xx → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 ln(1 + x)/sin(4x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + x)/sin(4x)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = −1

Пусть f(x) = (3x + 5)5. Найдите f′(−1).

f(x) = (3x + 5)5x = −1
f′(−1) =
4.ПроизводныеСложная
xyx = 1

Касательная к f(x) = −x2 + x + 6 в точке x = 1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = −x2 + x + 6x = 1
b =
5.ОптимизацияСредняя
xhxбез крышки

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 4000 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите минимальную площадь поверхности S.

V = 4000 cm³
S = cm²
6.ОптимизацияСложная
p (€)R(p)15сейчас

Театр продаёт 190 билетов на спектакль по €15 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 10 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 10 больше). Найдите максимальную выручку R за спектакль.

190 × €1510 / €1
R = €
7.ИнтегралыСредняя
xy14y = x ln x

Вычислите I = ∫₁4 x·ln x dx.

∫₁4 x ln x dx
I =
8.ИнтегралыСложная
xyy = 0,5x2​y = 3x

Найдите площадь A области, ограниченной y = 0,5x2 и y = 3x.

y = 0,5x2y = 3x
A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −3

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = −6x/(√(x2 − 6x) + x)

Разделите на x

f(x) = −6/(√(1 + (−6)/x) + 1)

Пусть x → ∞

L = −6/(1 + 1) = −3

Ответ

L = −3
2.Пределы

Ответ: L = 0,25

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Правило Лопиталя

L = limx→0 [1/(1 + x)]/[4·cos 4x]

Подставьте x = 0

L = 1/4 = 0,25

Ответ

L = 0,25
3.Производные

Ответ: f′(−1) = 240

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 5·(3x + 5)4·3

Подставьте

f′(−1) = 5·24·3 = 240

Ответ

f′(−1) = 240
4.Производные

Ответ: b = 7

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Точка и наклон

f(1) = 6
f′(x) = −2x + 1 → f′(1) = −1

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 6 − (−1)·1 = 7

Ответ

b = 7
5.Оптимизация

Ответ: S = 1200 cm²

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 16000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 8000 → x = 20 cm

Высота и площадь

h = 4000/20² = 10 cm
S = 20² + 16000/20 = 1200 cm²

Ответ

S = 1200 cm²

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: R = 2890 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Выручка как функция цены

n(p) = 340 − 10p
R(p) = 340p − 10p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −20 < 0, поэтому это максимум.

p = 340/20 = €17

Максимальная выручка

n = 340 − 10·17 = 170
R = 17·170 = €2890

Ответ

R = €2890
7.Интегралы

Ответ: I = 7,34

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Первообразная

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Пределы

(8·ln 4 − 4) − (0 − 0,25) = 7,34

Ответ

I = 7,34
8.Интегралы

Ответ: A = 18

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

0,5x2 = 3x → x = 0, x = 6

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [1,5x2 − 0,1667x3]06 = 18

Ответ

A = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1