Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (1 − 2/x)^2x. Дайте десятичное значение.

f(x) = (1 − 2/x)^2xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x².

f(x) = (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·sin(x), x в радианах. Найдите f′(1).

f(x) = x·sin(x)x = 1 rad

f′(1) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = x² − 6 в точке x = −2 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = x² − 6x = −2

b =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 600 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €40 за метр, остальные три стороны — €5 за метр. Найдите длину x стороны вдоль улицы, при которой стоимость минимальна.

A = 600 m²€40/m€5/m

x = m

6.ОптимизацияСложная

Театр продаёт 1600 билетов на спектакль по €10 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 50 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 50 больше). Найдите цену билета p, максимизирующую выручку.

1600 × €1050 / €1

p = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₂⁴ 5/x dx.

f(x) = 5/x[2, 4]

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = x² и y = 2x.

y = x²y = 2x

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 0,01832

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Возьмите логарифм

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 − 2/x)

Вычислите

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, поэтому x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·(−2) = −4

Избавьтесь от логарифма

L = e⁻⁴ = 0,01832

Ответ

L = 0,01832

2.Пределы

Ответ: L = 1,125

Первое применение

(1,5·e^1,5x − 1,5)/(2x) → 0/0

Второе применение

2,25·e^1,5x/2

Подставьте x = 0

L = 2,25·1/2 = 1,125

Ответ

L = 1,125

3.Производные

Ответ: f′(1) = 1,382

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Подставьте

f′(1) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Ответ

f′(1) = 1,382

4.Производные

Ответ: b = −10

Точка и наклон

f(−2) = −2

f′(x) = 2x → f′(−2) = −4

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − (−4)·(−2) = −10

Ответ

b = −10

5.Оптимизация

Ответ: x = 11,55 m

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 45x + 6000/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 12000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(6000/45) = 11,55 m

y = 600/11,55 = 51,96 m

Минимальная стоимость

C = 45·11,55 + 6000/11,55 = €1039

Ответ

x = 11,55 m

6.Оптимизация

Ответ: p = 21 €

Выручка как функция цены

n(p) = 2100 − 50p

R(p) = 2100p − 50p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −100 < 0, поэтому это максимум.

p = 2100/100 = €21

Максимальная выручка

n = 2100 − 50·21 = 1050

R = 21·1050 = €22050

Ответ

p = €21

7.Интегралы

Ответ: I = 3,466

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = 5·ln x

Подставьте пределы

I = 5·(ln 4 − ln 2) = 5·ln 2 = 3,466

Ответ

I = 3,466

8.Интегралы

Ответ: A = 1,333

Точки пересечения

x² = 2x → x = 0, x = 2

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [x² − 0,3333x³]₀² = 1,333

Ответ

A = 1,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1