Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(x² − 2x) − x).

f(x) = √(x² − 2x) − xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(2x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + x)/sin(2x)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x³·e^x. Найдите f′(1,5).

f(x) = x³·e^xx = 1,5

f′(1.5) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ + 9x² + 24x + 3. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ + 9x² + 24x + 3

x =

5.ОптимизацияСредняя

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 108000 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите высоту h.

V = 108000 cm³

h = cm

6.ОптимизацияСложная

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €40 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 100 + 18q + 0,5q² евро. Найдите объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = €40C = 100 + 18q + 0,5q²

q = ед.

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области между параболой y = 1 − x² и осью x.

y = 1 − x²

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −1

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = −2x/(√(x² − 2x) + x)

Разделите на x

f(x) = −2/(√(1 + (−2)/x) + 1)

Пусть x → ∞

L = −2/(1 + 1) = −1

Ответ

L = −1

2.Пределы

Ответ: L = 0,5

Правило Лопиталя

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[2·cos 2x]

Подставьте x = 0

L = 1/2 = 0,5

Ответ

L = 0,5

3.Производные

Ответ: f′(1.5) = 45,38

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(3x² + 1·x³)

Подставьте

f′(1,5) = 4,482·(6,75 + 3,375) = 45,38

Ответ

f′(1,5) = 45,38

4.Производные

Ответ: x = −2

Производная

f′(x) = 3x² + 18x + 24 = 3·(x² + 6x + 8)

Решите f′(x) = 0

x = −4 или x = −2

Что есть что

f″(x) = 6x + 18: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−4) = −6, f″(−2) = 6

x = −2

Ответ

x = −2

5.Оптимизация

Ответ: h = 30 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 432000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 216000 → x = 60 cm

Высота и площадь

h = 108000/60² = 30 cm

S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²

Ответ

h = 30 cm

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: q = 22 ед.

Функция прибыли

P(q) = 40q − (100 + 18q + 0,5q²) = −0,5q² + 22q − 100

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −1 < 0, поэтому это максимум.

22 − 1q = 0 → q = 22

Максимальная прибыль

P = 22·22 − 0,5·22² − 100 = €142

Ответ

q = 22

7.Интегралы

Ответ: I = 156

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Замена переменной

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

Проинтегрируйте и подставьте пределы

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

Ответ

I = 156

8.Интегралы

Ответ: A = 1,333

Нули

1 − x² = 0 → x = ±1

Интегрируйте

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Ответ

A = 1,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1