Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(9x² + 5x) − 3x).

f(x) = √(9x² + 5x) − 3xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(3x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(3x)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = (3x + 5)⁵. Найдите f′(2).

f(x) = (3x + 5)⁵x = 2

f′(2) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 1,5x² + 3. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 1,5x² + 3

x =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 200 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €15 за метр, остальные три стороны — €8 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 200 m²€15/m€8/m

C = €

6.ОптимизацияСложная

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 120 − 0,5q евро за единицу, а затраты C(q) = 1900 + 40q евро. Найдите цену p, максимизирующую прибыль.

p = 120 − 0,5qC = 1900 + 40q

p = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀² x·sin x dx (x в радианах).

∫₀² x·sin x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Область между прямой y = 6x и параболой y = 2x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 6xy = 2x²

V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 0,8333

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = 5x/(√(9x² + 5x) + 3x)

Разделите на x

f(x) = 5/(√(9 + 5/x) + 3)

Пусть x → ∞

L = 5/(3 + 3) = 0,8333

Ответ

L = 0,8333

2.Пределы

Ответ: L = 1,667

Правило Лопиталя

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[3·cos 3x]

Подставьте x = 0

L = 5/3 = 1,667

Ответ

L = 1,667

3.Производные

Ответ: f′(2) = 219615

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 5·(3x + 5)⁴·3

Подставьте

f′(2) = 5·11⁴·3 = 219615

Ответ

f′(2) = 219615

4.Производные

Ответ: x = 1

Производная

f′(x) = 3x² − 3x = 3·(x² − x)

Решите f′(x) = 0

x = 0 или x = 1

Что есть что

f″(x) = 6x − 3: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(0) = −3, f″(1) = 3

x = 1

Ответ

x = 1

5.Оптимизация

Ответ: C = 542,6 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 23x + 3200/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 6400/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(3200/23) = 11,8 m

y = 200/11,8 = 16,96 m

Минимальная стоимость

C = 23·11,8 + 3200/11,8 = €542,6

Ответ

C = €542,6

6.Оптимизация

Ответ: p = 80 €

Функция прибыли

P(q) = (120 − 0,5q)·q − (1900 + 40q) = −0,5q² + 80q − 1900

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −1 < 0, поэтому это максимум.

q = 80/1 = 80

Цена и прибыль

p = 120 − 0,5·80 = €80

P = 80·80 − 0,5·80² − 1900 = €1300

Ответ

p = €80

7.Интегралы

Ответ: I = 1,742

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Первообразная

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Пределы

(−2·cos 2 + sin 2) − (0 + 0) = 1,742

Ответ

I = 1,742

8.Интегралы

Ответ: V = 407,2

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

6x = 2x² → x = 0, x = 3

Метод колец (шайб)

V = π∫₀³ ((6x)² − (2x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(36·3³/3 − 4·3⁵/5) = π·129,6 = 407,2

Ответ

V = 407,2

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1