Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (6x³ + 3x − 5)/(5x³ + 2x + 9).

f(x) = (6x³ + 3x − 5)/(5x³ + 2x + 9)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(x)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = (3x − 1)³. Найдите f′(1).

f(x) = (3x − 1)³x = 1

f′(1) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 15x² + 63x + 4. Найдите x-координату x локального максимума.

f(x) = x³ − 15x² + 63x + 4

x =

5.ОптимизацияСредняя

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 108000 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите сторону дна x.

V = 108000 cm³

x = cm

6.ОптимизацияСложная

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 70 − 0,1q евро за единицу, а затраты C(q) = 2000 + 25q евро. Найдите недельный объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = 70 − 0,1qC = 2000 + 25q

q = ед.

7.ИнтегралыСредняя

Область под y = x от x = 0 до x = 1 вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела (конуса).

y = x0 ≤ x ≤ 1

V =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области между параболой y = 9 − x² и осью x.

y = 9 − x²

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 1,2

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(6 + 3/x² + (−5)/x³)/(5 + 2/x² + 9/x³)

Пусть x → ∞

L = 6/5 = 1,2

Ответ

L = 1,2

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 2

Правило Лопиталя

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[cos x]

Подставьте x = 0

L = 2/1 = 2

Ответ

L = 2

3.Производные

Ответ: f′(1) = 36

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 3·(3x − 1)²·3

Подставьте

f′(1) = 3·2²·3 = 36

Ответ

f′(1) = 36

4.Производные

Ответ: x = 3

Производная

f′(x) = 3x² − 30x + 63 = 3·(x² − 10x + 21)

Решите f′(x) = 0

x = 3 или x = 7

Что есть что

f″(x) = 6x − 30: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(3) = −12, f″(7) = 12

x = 3

Ответ

x = 3

5.Оптимизация

Ответ: x = 60 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 432000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 216000 → x = 60 cm

Высота и площадь

h = 108000/60² = 30 cm

S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²

Ответ

x = 60 cm

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: q = 225 ед.

Функция прибыли

P(q) = (70 − 0,1q)·q − (2000 + 25q) = −0,1q² + 45q − 2000

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,2 < 0, поэтому это максимум.

q = 45/0,2 = 225

Цена и прибыль

p = 70 − 0,1·225 = €47,5

P = 45·225 − 0,1·225² − 2000 = €3063

Ответ

q = 225

7.Интегралы

Ответ: V = 1,047

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Метод дисков

V = π∫₀¹ 1x² dx

Интегрируйте

V = π·1·1³/3 = 1,047

Ответ

V = 1,047

Проверка: конус с радиусом 1 и высотой 1 имеет (1/3)πr²h = 1,047.

8.Интегралы

Ответ: A = 36

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Нули

9 − x² = 0 → x = ±3

Интегрируйте

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Ответ

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1