Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (−6x³ + 4x + 4)/(4x³ + 3x + 8).

f(x) = (−6x³ + 4x + 4)/(4x³ + 3x + 8)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(2x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 4x)/(2x²)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·e^−x. Найдите f′(0,5).

f(x) = x·e^−xx = 0,5

f′(0.5) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 10,5x² + 30x − 6. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 10,5x² + 30x − 6

x =

5.ОптимизацияСредняя

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 1000 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите высоту банки h, при которой расход материала наименьший.

V = 1000 cm³

h = cm

6.ОптимизацияСложная

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €20 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 1000 + 4q + 0,02q² евро. Найдите максимальную прибыль P.

p = €20C = 1000 + 4q + 0,02q²

P = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

8.ИнтегралыСложная

Вычислите I = ∫₀² x²·eˣ dx.

∫₀² x²eˣ dx

I =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −1,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(−6 + 4/x² + 4/x³)/(4 + 3/x² + 8/x³)

Пусть x → ∞

L = −6/4 = −1,5

Ответ

L = −1,5

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 4

Первое применение

4·sin 4x/(4x) → 0/0

Второе применение

16·cos 4x/4

Подставьте x = 0

L = 16/4 = 4

Ответ

L = 4

3.Производные

Ответ: f′(0.5) = 0,3033

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(1 + (−1)·x)

Подставьте

f′(0,5) = 0,6065·(1 + (−0,5)) = 0,3033

Ответ

f′(0,5) = 0,3033

4.Производные

Ответ: x = 5

Производная

f′(x) = 3x² − 21x + 30 = 3·(x² − 7x + 10)

Решите f′(x) = 0

x = 2 или x = 5

Что есть что

f″(x) = 6x − 21: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(2) = −9, f″(5) = 9

x = 5

Ответ

x = 5

5.Оптимизация

Ответ: h = 10,84 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 1000/(πr²)

A(r) = 2πr² + 2000/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 4000/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 2000/r² = 0 → r = ∛(1000/(2π)) = 5,419 cm

Высота и площадь

h = 1000/(π·5,419²) = 2r = 10,84 cm

A = 2π·5,419² + 2000/5,419 = 553,6 cm²

Ответ

h = 10,84 cm

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: P = 2200 €

Функция прибыли

P(q) = 20q − (1000 + 4q + 0,02q²) = −0,02q² + 16q − 1000

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,04 < 0, поэтому это максимум.

16 − 0,04q = 0 → q = 400

Максимальная прибыль

P = 16·400 − 0,02·400² − 1000 = €2200

Ответ

P = €2200

7.Интегралы

Ответ: I = 2,333

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Замена переменной

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

Проинтегрируйте и подставьте пределы

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2,333

Ответ

I = 2,333

8.Интегралы

Ответ: I = 12,78

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Первый шаг

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Второй шаг

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Пределы

7,389·(2) − 1·2 = 12,78

Ответ

I = 12,78

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1