Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(4x² + 9x) − 2x).

f(x) = √(4x² + 9x) − 2xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(3x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(3x)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = (2x + 1)⁴. Найдите f′(2).

f(x) = (2x + 1)⁴x = 2

f′(2) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 10,5x² + 36x − 6. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 10,5x² + 36x − 6

x =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 800 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €20 за метр, остальные три стороны — €5 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 800 m²€20/m€5/m

C = €

6.ОптимизацияСложная

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 180 − 0,5q евро за единицу, а затраты C(q) = 400 + 135q евро. Найдите цену p, максимизирующую прибыль.

p = 180 − 0,5qC = 400 + 135q

p = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₁⁵ 3/x dx.

f(x) = 3/x[1, 5]

I =

8.ИнтегралыСложная

Вычислите I = ∫₀^0,5 x²·eˣ dx.

∫₀^0,5 x²eˣ dx

I =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 2,25

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = 9x/(√(4x² + 9x) + 2x)

Разделите на x

f(x) = 9/(√(4 + 9/x) + 2)

Пусть x → ∞

L = 9/(2 + 2) = 2,25

Ответ

L = 2,25

2.Пределы

Ответ: L = 1,333

Правило Лопиталя

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[3·cos 3x]

Подставьте x = 0

L = 4/3 = 1,333

Ответ

L = 1,333

3.Производные

Ответ: f′(2) = 1000

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 4·(2x + 1)³·2

Подставьте

f′(2) = 4·5³·2 = 1000

Ответ

f′(2) = 1000

4.Производные

Ответ: x = 4

Производная

f′(x) = 3x² − 21x + 36 = 3·(x² − 7x + 12)

Решите f′(x) = 0

x = 3 или x = 4

Что есть что

f″(x) = 6x − 21: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(3) = −3, f″(4) = 3

x = 4

Ответ

x = 4

5.Оптимизация

Ответ: C = 894,4 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 25x + 8000/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 16000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(8000/25) = 17,89 m

y = 800/17,89 = 44,72 m

Минимальная стоимость

C = 25·17,89 + 8000/17,89 = €894,4

Ответ

C = €894,4

6.Оптимизация

Ответ: p = 157,5 €

Функция прибыли

P(q) = (180 − 0,5q)·q − (400 + 135q) = −0,5q² + 45q − 400

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −1 < 0, поэтому это максимум.

q = 45/1 = 45

Цена и прибыль

p = 180 − 0,5·45 = €157,5

P = 45·45 − 0,5·45² − 400 = €612,5

Ответ

p = €157,5

7.Интегралы

Ответ: I = 4,828

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = 3·ln x

Подставьте пределы

I = 3·(ln 5 − ln 1) = 3·ln 5 = 4,828

Ответ

I = 4,828

8.Интегралы

Ответ: I = 0,0609

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Первый шаг

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Второй шаг

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Пределы

1,649·(1,25) − 1·2 = 0,0609

Ответ

I = 0,0609

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1