Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (√(x2 − 8x) − x).

f(x) = √(x2 − 8x) − xx → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 ln(1 + 3x)/sin(2x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(2x)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 2

Пусть f(x) = x·sin(2x), x в радианах. Найдите f′(2).

f(x) = x·sin(2x)x = 2 rad
f′(2) =
4.ПроизводныеСложная
xy

Пусть f(x) = x3 + 6x2 + 1. Найдите x-координату x локального максимума.

f(x) = x3 + 6x2 + 1
x =
5.ОптимизацияСредняя
сторона вдоль улицы: €30/m€5/myyx

Прямоугольный участок площадью 600 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €30 за метр, остальные три стороны — €5 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 600 m²€30/m€5/m
C = €
6.ОптимизацияСложная
p (€)R(p)15сейчас

Театр продаёт 240 билетов на спектакль по €15 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 10 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 10 больше). Найдите максимальную выручку R за спектакль.

240 × €1510 / €1
R = €
7.ИнтегралыСредняя
xy14y = x ln x

Вычислите I = ∫₁4 x·ln x dx.

∫₁4 x ln x dx
I =
8.ИнтегралыСложная
xy−11

Найдите площадь A области между параболой y = 1 − x² и осью x.

y = 1 − x²
A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −4

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = −8x/(√(x2 − 8x) + x)

Разделите на x

f(x) = −8/(√(1 + (−8)/x) + 1)

Пусть x → ∞

L = −8/(1 + 1) = −4

Ответ

L = −4
2.Пределы

Ответ: L = 1,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Правило Лопиталя

L = limx→0 [3/(1 + 3x)]/[2·cos 2x]

Подставьте x = 0

L = 3/2 = 1,5

Ответ

L = 1,5
3.Производные

Ответ: f′(2) = −3,371

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Подставьте

f′(2) = −0,7568 + 4·(−0,6536) = −3,371

Ответ

f′(2) = −3,371
4.Производные

Ответ: x = −4

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Производная

f′(x) = 3x2 + 12x = 3·(x2 + 4x)

Решите f′(x) = 0

x = −4 или x = 0

Что есть что

f″(x) = 6x + 12: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−4) = −12, f″(0) = 12
x = −4

Ответ

x = −4
5.Оптимизация

Ответ: C = 916,5 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 35x + 6000/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 12000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(6000/35) = 13,09 m
y = 600/13,09 = 45,83 m

Минимальная стоимость

C = 35·13,09 + 6000/13,09 = €916,5

Ответ

C = €916,5
6.Оптимизация

Ответ: R = 3803 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Выручка как функция цены

n(p) = 390 − 10p
R(p) = 390p − 10p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −20 < 0, поэтому это максимум.

p = 390/20 = €19,5

Максимальная выручка

n = 390 − 10·19,5 = 195
R = 19,5·195 = €3803

Ответ

R = €3803
7.Интегралы

Ответ: I = 7,34

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Первообразная

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Пределы

(8·ln 4 − 4) − (0 − 0,25) = 7,34

Ответ

I = 7,34
8.Интегралы

Ответ: A = 1,333

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Нули

1 − x² = 0 → x = ±1

Интегрируйте

A = [1x − x³/3]−11 = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Ответ

A = 1,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1