Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (1 − 1/x)x. Дайте десятичное значение.

f(x) = (1 − 1/x)xx → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 ln(1 + x)/sin(2x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + x)/sin(2x)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 1

Пусть f(x) = (2x − 3)3. Найдите f′(1).

f(x) = (2x − 3)3x = 1
f′(1) =
4.ПроизводныеСложная
xy

Пусть f(x) = x3 − 4,5x2 + 5. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x3 − 4,5x2 + 5
x =
5.ОптимизацияСредняя
xhxбез крышки

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 500 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите высоту h.

V = 500 cm³
h = cm
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 170 − 0,2q евро за единицу, а затраты C(q) = 2600 + 105q евро. Найдите цену p, максимизирующую прибыль.

p = 170 − 0,2qC = 2600 + 105q
p = €
7.ИнтегралыСредняя
xy13y = x ln x

Вычислите I = ∫₁3 x·ln x dx.

∫₁3 x ln x dx
I =
8.ИнтегралыСложная
xy3y = x²eˣ

Вычислите I = ∫₀3 x²·eˣ dx.

∫₀3 x²eˣ dx
I =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 0,3679

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Возьмите логарифм

ln L = limx→∞ x·ln(1 − 1/x)

Вычислите

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, поэтому x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·(−1) = −1

Избавьтесь от логарифма

L = e−1 = 0,3679

Ответ

L = 0,3679
2.Пределы

Ответ: L = 0,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Правило Лопиталя

L = limx→0 [1/(1 + x)]/[2·cos 2x]

Подставьте x = 0

L = 1/2 = 0,5

Ответ

L = 0,5
3.Производные

Ответ: f′(1) = 6

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 3·(2x − 3)2·2

Подставьте

f′(1) = 3·(−1)2·2 = 6

Ответ

f′(1) = 6
4.Производные

Ответ: x = 3

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Производная

f′(x) = 3x2 − 9x = 3·(x2 − 3x)

Решите f′(x) = 0

x = 0 или x = 3

Что есть что

f″(x) = 6x − 9: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(0) = −9, f″(3) = 9
x = 3

Ответ

x = 3
5.Оптимизация

Ответ: h = 5 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 2000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 1000 → x = 10 cm

Высота и площадь

h = 500/10² = 5 cm
S = 10² + 2000/10 = 300 cm²

Ответ

h = 5 cm

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: p = 137,5 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = (170 − 0,2q)·q − (2600 + 105q) = −0,2q2 + 65q − 2600

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,4 < 0, поэтому это максимум.

q = 65/0,4 = 162,5

Цена и прибыль

p = 170 − 0,2·162,5 = €137,5
P = 65·162,5 − 0,2·162,5² − 2600 = €2681

Ответ

p = €137,5
7.Интегралы

Ответ: I = 2,944

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Первообразная

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Пределы

(4,5·ln 3 − 2,25) − (0 − 0,25) = 2,944

Ответ

I = 2,944
8.Интегралы

Ответ: I = 98,43

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Первый шаг

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Второй шаг

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Пределы

20,09·(5) − 1·2 = 98,43

Ответ

I = 98,43

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1