Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (5x3 + 4x − 5)/(4x3 + 3x + 4).

f(x) = (5x3 + 4x − 5)/(4x3 + 3x + 4)x → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (e3x − 1 − 3x)/x².

f(x) = (e3x − 1 − 3x)/x²x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 0

Пусть f(x) = (4x + 1)3. Найдите f′(0).

f(x) = (4x + 1)3x = 0
f′(0) =
4.ПроизводныеСложная
xyx = −2

Касательная к f(x) = 2x2 + 5x + 4 в точке x = −2 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 2x2 + 5x + 4x = −2
b =
5.ОптимизацияСредняя
xhxбез крышки

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 62500 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите минимальную площадь поверхности S.

V = 62500 cm³
S = cm²
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 70 − 0,25q евро за единицу, а затраты C(q) = 1200 + 15q евро. Найдите недельный объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = 70 − 0,25qC = 1200 + 15q
q = ед.
7.ИнтегралыСредняя
xy01

Вычислите I = ∫01 2x·(x² + 1)2 dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)2[0, 1]
I =
8.ИнтегралыСложная
xy−22

Найдите площадь A области между параболой y = 4 − x² и осью x.

y = 4 − x²
A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 1,25

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(5 + 4/x2 + (−5)/x3)/(4 + 3/x2 + 4/x3)

Пусть x → ∞

L = 5/4 = 1,25

Ответ

L = 1,25

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 4,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

(3·e3x − 3)/(2x) → 0/0

Второе применение

9·e3x/2

Подставьте x = 0

L = 9·1/2 = 4,5

Ответ

L = 4,5
3.Производные

Ответ: f′(0) = 12

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 3·(4x + 1)2·4

Подставьте

f′(0) = 3·12·4 = 12

Ответ

f′(0) = 12
4.Производные

Ответ: b = −4

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Точка и наклон

f(−2) = 2
f′(x) = 4x + 5 → f′(−2) = −3

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 2 − (−3)·(−2) = −4

Ответ

b = −4
5.Оптимизация

Ответ: S = 7500 cm²

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 250000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 125000 → x = 50 cm

Высота и площадь

h = 62500/50² = 25 cm
S = 50² + 250000/50 = 7500 cm²

Ответ

S = 7500 cm²

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: q = 110 ед.

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = (70 − 0,25q)·q − (1200 + 15q) = −0,25q2 + 55q − 1200

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,5 < 0, поэтому это максимум.

q = 55/0,5 = 110

Цена и прибыль

p = 70 − 0,25·110 = €42,5
P = 55·110 − 0,25·110² − 1200 = €1825

Ответ

q = 110
7.Интегралы

Ответ: I = 2,333

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Замена переменной

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u2 du

Проинтегрируйте и подставьте пределы

I = [u3/3]12 = (8 − 1)/3 = 2,333

Ответ

I = 2,333
8.Интегралы

Ответ: A = 10,67

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Нули

4 − x² = 0 → x = ±2

Интегрируйте

A = [4x − x³/3]−22 = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Ответ

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1