Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (−3x³ − 2x − 6)/(2x³ + 5x + 9).

f(x) = (−3x³ − 2x − 6)/(2x³ + 5x + 9)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(x)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = ln(2x² + 5). Найдите f′(−1).

f(x) = ln(2x² + 5)x = −1

f′(−1) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ + 9x² + 24x + 6. Найдите x-координату x локального максимума.

f(x) = x³ + 9x² + 24x + 6

x =

5.ОптимизацияСредняя

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 355 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите радиус r, при котором расход материала наименьший.

V = 355 cm³

r = cm

6.ОптимизацияСложная

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 180 − 2q евро за единицу, а затраты C(q) = 1500 + 40q евро. Найдите цену p, максимизирующую прибыль.

p = 180 − 2qC = 1500 + 40q

p = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₁³ 2/x dx.

f(x) = 2/x[1, 3]

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области между параболой y = 1 − x² и осью x.

y = 1 − x²

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −1,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(−3 + (−2)/x² + (−6)/x³)/(2 + 5/x² + 9/x³)

Пусть x → ∞

L = −3/2 = −1,5

Ответ

L = −1,5

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 5

Правило Лопиталя

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[cos x]

Подставьте x = 0

L = 5/1 = 5

Ответ

L = 5

3.Производные

Ответ: f′(−1) = −0,5714

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 4x/(2x² + 5)

Подставьте

f′(−1) = −4/7 = −0,5714

Ответ

f′(−1) = −0,5714

4.Производные

Ответ: x = −4

Производная

f′(x) = 3x² + 18x + 24 = 3·(x² + 6x + 8)

Решите f′(x) = 0

x = −4 или x = −2

Что есть что

f″(x) = 6x + 18: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−4) = −6, f″(−2) = 6

x = −4

Ответ

x = −4

5.Оптимизация

Ответ: r = 3,837 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 355/(πr²)

A(r) = 2πr² + 710/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 710/r² = 0 → r = ∛(355/(2π)) = 3,837 cm

Высота и площадь

h = 355/(π·3,837²) = 2r = 7,674 cm

A = 2π·3,837² + 710/3,837 = 277,5 cm²

Ответ

r = 3,837 cm

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: p = 110 €

Функция прибыли

P(q) = (180 − 2q)·q − (1500 + 40q) = −2q² + 140q − 1500

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −4 < 0, поэтому это максимум.

q = 140/4 = 35

Цена и прибыль

p = 180 − 2·35 = €110

P = 140·35 − 2·35² − 1500 = €950

Ответ

p = €110

7.Интегралы

Ответ: I = 2,197

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = 2·ln x

Подставьте пределы

I = 2·(ln 3 − ln 1) = 2·ln 3 = 2,197

Ответ

I = 2,197

8.Интегралы

Ответ: A = 1,333

Нули

1 − x² = 0 → x = ±1

Интегрируйте

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Ответ

A = 1,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1