Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (−x³ + 4x − 3)/(4x³ + 4x + 3).

f(x) = (−x³ + 4x − 3)/(4x³ + 4x + 3)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x².

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·sin(2x), x в радианах. Найдите f′(1).

f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad

f′(1) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = x² + 2x + 6 в точке x = 3 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = x² + 2x + 6x = 3

b =

5.ОптимизацияСредняя

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 4000 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите сторону дна x.

V = 4000 cm³

x = cm

6.ОптимизацияСложная

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 150 − 0,25q евро за единицу, а затраты C(q) = 6800 + 20q евро. Найдите недельный объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = 150 − 0,25qC = 6800 + 20q

q = ед.

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₁² x·ln x dx.

∫₁² x ln x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = 0,5x² и y = 4x.

y = 0,5x²y = 4x

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −0,25

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(−1 + 4/x² + (−3)/x³)/(4 + 4/x² + 3/x³)

Пусть x → ∞

L = −1/4 = −0,25

Ответ

L = −0,25

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 4,5

Первое применение

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

Второе применение

9·e^3x/2

Подставьте x = 0

L = 9·1/2 = 4,5

Ответ

L = 4,5

3.Производные

Ответ: f′(1) = 0,077

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Подставьте

f′(1) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Ответ

f′(1) = 0,077

4.Производные

Ответ: b = −3

Точка и наклон

f(3) = 21

f′(x) = 2x + 2 → f′(3) = 8

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 21 − 8·3 = −3

Ответ

b = −3

5.Оптимизация

Ответ: x = 20 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 16000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 8000 → x = 20 cm

Высота и площадь

h = 4000/20² = 10 cm

S = 20² + 16000/20 = 1200 cm²

Ответ

x = 20 cm

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: q = 260 ед.

Функция прибыли

P(q) = (150 − 0,25q)·q − (6800 + 20q) = −0,25q² + 130q − 6800

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,5 < 0, поэтому это максимум.

q = 130/0,5 = 260

Цена и прибыль

p = 150 − 0,25·260 = €85

P = 130·260 − 0,25·260² − 6800 = €10100

Ответ

q = 260

7.Интегралы

Ответ: I = 0,6363

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Первообразная

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Пределы

(2·ln 2 − 1) − (0 − 0,25) = 0,6363

Ответ

I = 0,6363

8.Интегралы

Ответ: A = 42,67

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

0,5x² = 4x → x = 0, x = 8

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [2x² − 0,1667x³]₀⁸ = 42,67

Ответ

A = 42,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1