Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (√(x2 + 8x) − x).

f(x) = √(x2 + 8x) − xx → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (1 − cos 4x)/(2x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 4x)/(2x²)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 0

Пусть f(x) = (4x + 5)3. Найдите f′(0).

f(x) = (4x + 5)3x = 0
f′(0) =
4.ПроизводныеСложная
xy

Пусть f(x) = x3 − 6x2 + 4. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x3 − 6x2 + 4
x =
5.ОптимизацияСредняя
сторона вдоль улицы: €40/m€10/myyx

Прямоугольный участок площадью 200 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €40 за метр, остальные три стороны — €10 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 200 m²€40/m€10/m
C = €
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 70 − 1q евро за единицу, а затраты C(q) = 100 + 25q евро. Найдите недельный объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = 70 − 1qC = 100 + 25q
q = ед.
7.ИнтегралыСредняя
xy01

Вычислите I = ∫01 e0,5x dx.

f(x) = e0,5x[0, 1]
I =
8.ИнтегралыСложная
xy4y = 2xy = 0,5x²

Область между прямой y = 2x и параболой y = 0,5x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 2xy = 0,5x²
V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 4

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = 8x/(√(x2 + 8x) + x)

Разделите на x

f(x) = 8/(√(1 + 8/x) + 1)

Пусть x → ∞

L = 8/(1 + 1) = 4

Ответ

L = 4
2.Пределы

Ответ: L = 4

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

4·sin 4x/(4x) → 0/0

Второе применение

16·cos 4x/4

Подставьте x = 0

L = 16/4 = 4

Ответ

L = 4
3.Производные

Ответ: f′(0) = 300

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 3·(4x + 5)2·4

Подставьте

f′(0) = 3·52·4 = 300

Ответ

f′(0) = 300
4.Производные

Ответ: x = 4

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Производная

f′(x) = 3x2 − 12x = 3·(x2 − 4x)

Решите f′(x) = 0

x = 0 или x = 4

Что есть что

f″(x) = 6x − 12: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(0) = −12, f″(4) = 12
x = 4

Ответ

x = 4
5.Оптимизация

Ответ: C = 894,4 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 50x + 4000/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 8000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(4000/50) = 8,944 m
y = 200/8,944 = 22,36 m

Минимальная стоимость

C = 50·8,944 + 4000/8,944 = €894,4

Ответ

C = €894,4
6.Оптимизация

Ответ: q = 22,5 ед.

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = (70 − 1q)·q − (100 + 25q) = −q2 + 45q − 100

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −2 < 0, поэтому это максимум.

q = 45/2 = 22,5

Цена и прибыль

p = 70 − 1·22,5 = €47,5
P = 45·22,5 − 1·22,5² − 100 = €406,3

Ответ

q = 22,5
7.Интегралы

Ответ: I = 1,297

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = e0,5x/0,5

Подставьте пределы

I = (e0,5 − 1)/0,5 = (1,649 − 1)/0,5 = 1,297

Ответ

I = 1,297
8.Интегралы

Ответ: V = 107,2

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

2x = 0,5x² → x = 0, x = 4

Метод колец (шайб)

V = π∫₀4 ((2x)² − (0,5x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(4·4³/3 − 0,25·4⁵/5) = π·34,13 = 107,2

Ответ

V = 107,2

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1