Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (1 + 3/x)x. Дайте десятичное значение.

f(x) = (1 + 3/x)xx → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (e1,5x − 1 − 1,5x)/x².

f(x) = (e1,5x − 1 − 1,5x)/x²x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 0,5

Пусть f(x) = x·e0,5x. Найдите f′(0,5).

f(x) = x·e0,5xx = 0,5
f′(0.5) =
4.ПроизводныеСложная
xy

Пусть f(x) = x3 − 3x2 − 6. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x3 − 3x2 − 6
x =
5.ОптимизацияСредняя
сторона вдоль улицы: €20/m€8/myyx

Прямоугольный участок площадью 300 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €20 за метр, остальные три стороны — €8 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 300 m²€20/m€8/m
C = €
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 70 − 0,5q евро за единицу, а затраты C(q) = 500 + 30q евро. Найдите цену p, максимизирующую прибыль.

p = 70 − 0,5qC = 500 + 30q
p = €
7.ИнтегралыСредняя
xy02

Вычислите I = ∫02 2x·(x² + 1)2 dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)2[0, 2]
I =
8.ИнтегралыСложная
xyy = 0,5x2​y = x

Найдите площадь A области, ограниченной y = 0,5x2 и y = x.

y = 0,5x2y = x
A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 20,09

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Возьмите логарифм

ln L = limx→∞ x·ln(1 + 3/x)

Вычислите

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, поэтому x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·3 = 3

Избавьтесь от логарифма

L = e3 = 20,09

Ответ

L = 20,09
2.Пределы

Ответ: L = 1,125

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

(1,5·e1,5x − 1,5)/(2x) → 0/0

Второе применение

2,25·e1,5x/2

Подставьте x = 0

L = 2,25·1/2 = 1,125

Ответ

L = 1,125
3.Производные

Ответ: f′(0.5) = 1,605

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e0,5x·(1 + 0,5·x)

Подставьте

f′(0,5) = 1,284·(1 + 0,25) = 1,605

Ответ

f′(0,5) = 1,605
4.Производные

Ответ: x = 2

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Производная

f′(x) = 3x2 − 6x = 3·(x2 − 2x)

Решите f′(x) = 0

x = 0 или x = 2

Что есть что

f″(x) = 6x − 6: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(0) = −6, f″(2) = 6
x = 2

Ответ

x = 2
5.Оптимизация

Ответ: C = 733,2 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 28x + 4800/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 9600/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(4800/28) = 13,09 m
y = 300/13,09 = 22,91 m

Минимальная стоимость

C = 28·13,09 + 4800/13,09 = €733,2

Ответ

C = €733,2
6.Оптимизация

Ответ: p = 50 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = (70 − 0,5q)·q − (500 + 30q) = −0,5q2 + 40q − 500

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −1 < 0, поэтому это максимум.

q = 40/1 = 40

Цена и прибыль

p = 70 − 0,5·40 = €50
P = 40·40 − 0,5·40² − 500 = €300

Ответ

p = €50
7.Интегралы

Ответ: I = 41,33

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Замена переменной

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u2 du

Проинтегрируйте и подставьте пределы

I = [u3/3]15 = (125 − 1)/3 = 41,33

Ответ

I = 41,33
8.Интегралы

Ответ: A = 0,6667

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

0,5x2 = x → x = 0, x = 2

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [0,5x2 − 0,1667x3]02 = 0,6667

Ответ

A = 0,6667

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1