Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (√(9x2 + 8x) − 3x).

f(x) = √(9x2 + 8x) − 3xx → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (1 − cos 4x)/(2x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 4x)/(2x²)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 1

Пусть f(x) = x·e0,5x. Найдите f′(1).

f(x) = x·e0,5xx = 1
f′(1) =
4.ПроизводныеСложная
xy

Пусть f(x) = x3 − 9x2 + 15x − 6. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x3 − 9x2 + 15x − 6
x =
5.ОптимизацияСредняя
rh

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 500 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите высоту банки h, при которой расход материала наименьший.

V = 500 cm³
h = cm
6.ОптимизацияСложная
p (€)R(p)10сейчас

Театр продаёт 190 билетов на спектакль по €10 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 10 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 10 больше). Найдите цену билета p, максимизирующую выручку.

190 × €1010 / €1
p = €
7.ИнтегралыСредняя
xy24

Вычислите I = ∫24 4/x dx.

f(x) = 4/x[2, 4]
I =
8.ИнтегралыСложная
xy4y = 2xy = 0,5x²

Область между прямой y = 2x и параболой y = 0,5x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 2xy = 0,5x²
V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 1,333

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = 8x/(√(9x2 + 8x) + 3x)

Разделите на x

f(x) = 8/(√(9 + 8/x) + 3)

Пусть x → ∞

L = 8/(3 + 3) = 1,333

Ответ

L = 1,333
2.Пределы

Ответ: L = 4

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

4·sin 4x/(4x) → 0/0

Второе применение

16·cos 4x/4

Подставьте x = 0

L = 16/4 = 4

Ответ

L = 4
3.Производные

Ответ: f′(1) = 2,473

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e0,5x·(1 + 0,5·x)

Подставьте

f′(1) = 1,649·(1 + 0,5) = 2,473

Ответ

f′(1) = 2,473
4.Производные

Ответ: x = 5

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Производная

f′(x) = 3x2 − 18x + 15 = 3·(x2 − 6x + 5)

Решите f′(x) = 0

x = 1 или x = 5

Что есть что

f″(x) = 6x − 18: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(1) = −12, f″(5) = 12
x = 5

Ответ

x = 5
5.Оптимизация

Ответ: h = 8,603 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 500/(πr²)
A(r) = 2πr² + 1000/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 2000/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 1000/r² = 0 → r = ∛(500/(2π)) = 4,301 cm

Высота и площадь

h = 500/(π·4,301²) = 2r = 8,603 cm
A = 2π·4,301² + 1000/4,301 = 348,7 cm²

Ответ

h = 8,603 cm

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: p = 14,5 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Выручка как функция цены

n(p) = 290 − 10p
R(p) = 290p − 10p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −20 < 0, поэтому это максимум.

p = 290/20 = €14,5

Максимальная выручка

n = 290 − 10·14,5 = 145
R = 14,5·145 = €2103

Ответ

p = €14,5
7.Интегралы

Ответ: I = 2,773

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = 4·ln x

Подставьте пределы

I = 4·(ln 4 − ln 2) = 4·ln 2 = 2,773

Ответ

I = 2,773
8.Интегралы

Ответ: V = 107,2

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

2x = 0,5x² → x = 0, x = 4

Метод колец (шайб)

V = π∫₀4 ((2x)² − (0,5x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(4·4³/3 − 0,25·4⁵/5) = π·34,13 = 107,2

Ответ

V = 107,2

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1