Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (3x² + 4x + 3)/(2x² + 6x + 5).

f(x) = (3x² + 4x + 3)/(2x² + 6x + 5)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(2x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 3x)/(2x²)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = ln(2x² + 4). Найдите f′(−1).

f(x) = ln(2x² + 4)x = −1

f′(−1) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 10,5x² + 36x + 6. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 10,5x² + 36x + 6

x =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 400 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €20 за метр, остальные три стороны — €5 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 400 m²€20/m€5/m

C = €

6.ОптимизацияСложная

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 190 − 1q евро за единицу, а затраты C(q) = 3600 + 20q евро. Найдите недельный объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = 190 − 1qC = 3600 + 20q

q = ед.

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀³ e^−0,5x dx.

f(x) = e^−0,5x[0, 3]

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = x² и y = 3x.

y = x²y = 3x

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 1,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(3 + 4/x + 3/x²)/(2 + 6/x + 5/x²)

Пусть x → ∞

L = 3/2 = 1,5

Ответ

L = 1,5

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 2,25

Первое применение

3·sin 3x/(4x) → 0/0

Второе применение

9·cos 3x/4

Подставьте x = 0

L = 9/4 = 2,25

Ответ

L = 2,25

3.Производные

Ответ: f′(−1) = −0,6667

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 4x/(2x² + 4)

Подставьте

f′(−1) = −4/6 = −0,6667

Ответ

f′(−1) = −0,6667

4.Производные

Ответ: x = 4

Производная

f′(x) = 3x² − 21x + 36 = 3·(x² − 7x + 12)

Решите f′(x) = 0

x = 3 или x = 4

Что есть что

f″(x) = 6x − 21: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(3) = −3, f″(4) = 3

x = 4

Ответ

x = 4

5.Оптимизация

Ответ: C = 632,5 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 25x + 4000/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 8000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(4000/25) = 12,65 m

y = 400/12,65 = 31,62 m

Минимальная стоимость

C = 25·12,65 + 4000/12,65 = €632,5

Ответ

C = €632,5

6.Оптимизация

Ответ: q = 85 ед.

Функция прибыли

P(q) = (190 − 1q)·q − (3600 + 20q) = −q² + 170q − 3600

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −2 < 0, поэтому это максимум.

q = 170/2 = 85

Цена и прибыль

p = 190 − 1·85 = €105

P = 170·85 − 1·85² − 3600 = €3625

Ответ

q = 85

7.Интегралы

Ответ: I = 1,554

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = e^−0,5x/(−0,5)

Подставьте пределы

I = (e^−1,5 − 1)/(−0,5) = (0,2231 − 1)/(−0,5) = 1,554

Ответ

I = 1,554

8.Интегралы

Ответ: A = 4,5

Точки пересечения

x² = 3x → x = 0, x = 3

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [1,5x² − 0,3333x³]₀³ = 4,5

Ответ

A = 4,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1