Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (2x² − 3x − 9)/(3x² + 2x + 8).

f(x) = (2x² − 3x − 9)/(3x² + 2x + 8)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(3x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(3x)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·sin(3x), x в радианах. Найдите f′(1,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 9x² + 24x + 4. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 9x² + 24x + 4

x =

5.ОптимизацияСредняя

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 500 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите высоту h.

V = 500 cm³

h = cm

6.ОптимизацияСложная

Театр продаёт 140 билетов на спектакль по €10 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 10 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 10 больше). Найдите цену билета p, максимизирующую выручку.

140 × €1010 / €1

p = €

7.ИнтегралыСредняя

Область под y = 2x от x = 0 до x = 4 вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела (конуса).

y = 2x0 ≤ x ≤ 4

V =

8.ИнтегралыСложная

Вычислите I = ∫₀³ x²·eˣ dx.

∫₀³ x²eˣ dx

I =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 0,6667

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(2 + (−3)/x + (−9)/x²)/(3 + 2/x + 8/x²)

Пусть x → ∞

L = 2/3 = 0,6667

Ответ

L = 0,6667

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 1,333

Правило Лопиталя

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[3·cos 3x]

Подставьте x = 0

L = 4/3 = 1,333

Ответ

L = 1,333

3.Производные

Ответ: f′(1.5) = −1,926

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Подставьте

f′(1,5) = −0,9775 + 4,5·(−0,2108) = −1,926

Ответ

f′(1,5) = −1,926

4.Производные

Ответ: x = 4

Производная

f′(x) = 3x² − 18x + 24 = 3·(x² − 6x + 8)

Решите f′(x) = 0

x = 2 или x = 4

Что есть что

f″(x) = 6x − 18: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(2) = −6, f″(4) = 6

x = 4

Ответ

x = 4

5.Оптимизация

Ответ: h = 5 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 2000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 1000 → x = 10 cm

Высота и площадь

h = 500/10² = 5 cm

S = 10² + 2000/10 = 300 cm²

Ответ

h = 5 cm

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: p = 12 €

Выручка как функция цены

n(p) = 240 − 10p

R(p) = 240p − 10p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −20 < 0, поэтому это максимум.

p = 240/20 = €12

Максимальная выручка

n = 240 − 10·12 = 120

R = 12·120 = €1440

Ответ

p = €12

7.Интегралы

Ответ: V = 268,1

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Метод дисков

V = π∫₀⁴ 4x² dx

Интегрируйте

V = π·4·4³/3 = 268,1

Ответ

V = 268,1

Проверка: конус с радиусом 8 и высотой 4 имеет (1/3)πr²h = 268,1.

8.Интегралы

Ответ: I = 98,43

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Первый шаг

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Второй шаг

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Пределы

20,09·(5) − 1·2 = 98,43

Ответ

I = 98,43

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1