Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (√(x2 − 2x) − x).

f(x) = √(x2 − 2x) − xx → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 ln(1 + 2x)/sin(3x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = −1

Пусть f(x) = (−2x + 5)3. Найдите f′(−1).

f(x) = (−2x + 5)3x = −1
f′(−1) =
4.ПроизводныеСложная
xyx = −1

Касательная к f(x) = x2 − 2x − 3 в точке x = −1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = x2 − 2x − 3x = −1
b =
5.ОптимизацияСредняя
сторона вдоль улицы: €25/m€8/myyx

Прямоугольный участок площадью 1200 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €25 за метр, остальные три стороны — €8 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 1200 m²€25/m€8/m
C = €
6.ОптимизацияСложная
p (€)R(p)15сейчас

Театр продаёт 1350 билетов на спектакль по €15 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 50 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 50 больше). Найдите максимальную выручку R за спектакль.

1350 × €1550 / €1
R = €
7.ИнтегралыСредняя
xy4y = √(4x)

Область под y = √(4x) от x = 0 до x = 4 вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела (параболоида).

y = √(4x)0 ≤ x ≤ 4
V =
8.ИнтегралыСложная
xyy = 2x2​y = x

Найдите площадь A области, ограниченной y = 2x2 и y = x.

y = 2x2y = x
A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −1

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = −2x/(√(x2 − 2x) + x)

Разделите на x

f(x) = −2/(√(1 + (−2)/x) + 1)

Пусть x → ∞

L = −2/(1 + 1) = −1

Ответ

L = −1
2.Пределы

Ответ: L = 0,6667

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Правило Лопиталя

L = limx→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

Подставьте x = 0

L = 2/3 = 0,6667

Ответ

L = 0,6667
3.Производные

Ответ: f′(−1) = −294

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 3·(−2x + 5)2·(−2)

Подставьте

f′(−1) = 3·72·(−2) = −294

Ответ

f′(−1) = −294
4.Производные

Ответ: b = −4

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Точка и наклон

f(−1) = 0
f′(x) = 2x − 2 → f′(−1) = −4

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 0 − (−4)·(−1) = −4

Ответ

b = −4
5.Оптимизация

Ответ: C = 1592 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 33x + 19200/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 38400/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(19200/33) = 24,12 m
y = 1200/24,12 = 49,75 m

Минимальная стоимость

C = 33·24,12 + 19200/24,12 = €1592

Ответ

C = €1592
6.Оптимизация

Ответ: R = 22050 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Выручка как функция цены

n(p) = 2100 − 50p
R(p) = 2100p − 50p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −100 < 0, поэтому это максимум.

p = 2100/100 = €21

Максимальная выручка

n = 2100 − 50·21 = 1050
R = 21·1050 = €22050

Ответ

R = €22050
7.Интегралы

Ответ: V = 100,5

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Метод дисков

V = π∫₀4 4x dx

Интегрируйте

V = π·4·4²/2 = 100,5

Ответ

V = 100,5
8.Интегралы

Ответ: A = 0,04167

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

2x2 = x → x = 0, x = 0,5

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [0,5x2 − 0,6667x3]00,5 = 0,04167

Ответ

A = 0,04167

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1