Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (6x² + 3x − 3)/(x² + 3x + 8).

f(x) = (6x² + 3x − 3)/(x² + 3x + 8)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x².

f(x) = (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = (−2x + 3)⁴. Найдите f′(−1).

f(x) = (−2x + 3)⁴x = −1

f′(−1) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 10,5x² + 30x − 1. Найдите x-координату x локального максимума.

f(x) = x³ − 10,5x² + 30x − 1

x =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 300 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €40 за метр, остальные три стороны — €10 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 300 m²€40/m€10/m

C = €

6.ОптимизацияСложная

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €55 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 1500 + 16q + 0,1q² евро. Найдите объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = €55C = 1500 + 16q + 0,1q²

q = ед.

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀¹ e^x dx.

f(x) = e^x[0, 1]

I =

8.ИнтегралыСложная

Область между прямой y = 5x и параболой y = 2x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 5xy = 2x²

V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 6

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(6 + 3/x + (−3)/x²)/(1 + 3/x + 8/x²)

Пусть x → ∞

L = 6/1 = 6

Ответ

L = 6

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 1,125

Первое применение

(1,5·e^1,5x − 1,5)/(2x) → 0/0

Второе применение

2,25·e^1,5x/2

Подставьте x = 0

L = 2,25·1/2 = 1,125

Ответ

L = 1,125

3.Производные

Ответ: f′(−1) = −1000

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 4·(−2x + 3)³·(−2)

Подставьте

f′(−1) = 4·5³·(−2) = −1000

Ответ

f′(−1) = −1000

4.Производные

Ответ: x = 2

Производная

f′(x) = 3x² − 21x + 30 = 3·(x² − 7x + 10)

Решите f′(x) = 0

x = 2 или x = 5

Что есть что

f″(x) = 6x − 21: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(2) = −9, f″(5) = 9

x = 2

Ответ

x = 2

5.Оптимизация

Ответ: C = 1095 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 50x + 6000/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 12000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(6000/50) = 10,95 m

y = 300/10,95 = 27,39 m

Минимальная стоимость

C = 50·10,95 + 6000/10,95 = €1095

Ответ

C = €1095

6.Оптимизация

Ответ: q = 195 ед.

Функция прибыли

P(q) = 55q − (1500 + 16q + 0,1q²) = −0,1q² + 39q − 1500

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,2 < 0, поэтому это максимум.

39 − 0,2q = 0 → q = 195

Максимальная прибыль

P = 39·195 − 0,1·195² − 1500 = €2303

Ответ

q = 195

7.Интегралы

Ответ: I = 1,718

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = e^x/1

Подставьте пределы

I = (e¹ − 1)/1 = (2,718 − 1)/1 = 1,718

Ответ

I = 1,718

8.Интегралы

Ответ: V = 163,6

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

5x = 2x² → x = 0, x = 2,5

Метод колец (шайб)

V = π∫₀^2,5 ((5x)² − (2x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(25·2,5³/3 − 4·2,5⁵/5) = π·52,08 = 163,6

Ответ

V = 163,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1