Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(4x² + 4x) − 2x).

f(x) = √(4x² + 4x) − 2xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^2x − 1 − 2x)/x².

f(x) = (e^2x − 1 − 2x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = (2x + 1)⁴. Найдите f′(−1).

f(x) = (2x + 1)⁴x = −1

f′(−1) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 4,5x² + 6x + 1. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 4,5x² + 6x + 1

x =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 1200 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €30 за метр, остальные три стороны — €5 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 1200 m²€30/m€5/m

C = €

6.ОптимизацияСложная

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €55 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 1900 + 24q + 0,05q² евро. Найдите объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = €55C = 1900 + 24q + 0,05q²

q = ед.

7.ИнтегралыСредняя

Область под y = 3x от x = 0 до x = 2 вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела (конуса).

y = 3x0 ≤ x ≤ 2

V =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области между параболой y = 4 − x² и осью x.

y = 4 − x²

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 1

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = 4x/(√(4x² + 4x) + 2x)

Разделите на x

f(x) = 4/(√(4 + 4/x) + 2)

Пусть x → ∞

L = 4/(2 + 2) = 1

Ответ

L = 1

2.Пределы

Ответ: L = 2

Первое применение

(2·e^2x − 2)/(2x) → 0/0

Второе применение

4·e^2x/2

Подставьте x = 0

L = 4·1/2 = 2

Ответ

L = 2

3.Производные

Ответ: f′(−1) = −8

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 4·(2x + 1)³·2

Подставьте

f′(−1) = 4·(−1)³·2 = −8

Ответ

f′(−1) = −8

4.Производные

Ответ: x = 2

Производная

f′(x) = 3x² − 9x + 6 = 3·(x² − 3x + 2)

Решите f′(x) = 0

x = 1 или x = 2

Что есть что

f″(x) = 6x − 9: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(1) = −3, f″(2) = 3

x = 2

Ответ

x = 2

5.Оптимизация

Ответ: C = 1296 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 35x + 12000/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 24000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(12000/35) = 18,52 m

y = 1200/18,52 = 64,81 m

Минимальная стоимость

C = 35·18,52 + 12000/18,52 = €1296

Ответ

C = €1296

6.Оптимизация

Ответ: q = 310 ед.

Функция прибыли

P(q) = 55q − (1900 + 24q + 0,05q²) = −0,05q² + 31q − 1900

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,1 < 0, поэтому это максимум.

31 − 0,1q = 0 → q = 310

Максимальная прибыль

P = 31·310 − 0,05·310² − 1900 = €2905

Ответ

q = 310

7.Интегралы

Ответ: V = 75,4

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Метод дисков

V = π∫₀² 9x² dx

Интегрируйте

V = π·9·2³/3 = 75,4

Ответ

V = 75,4

Проверка: конус с радиусом 6 и высотой 2 имеет (1/3)πr²h = 75,4.

8.Интегралы

Ответ: A = 10,67

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Нули

4 − x² = 0 → x = ±2

Интегрируйте

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Ответ

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1