Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(9x² − 3x) − 3x).

f(x) = √(9x² − 3x) − 3xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(2x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(2x)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·sin(3x), x в радианах. Найдите f′(1).

f(x) = x·sin(3x)x = 1 rad

f′(1) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 3x² − 4. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 3x² − 4

x =

5.ОптимизацияСредняя

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 750 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите высоту банки h, при которой расход материала наименьший.

V = 750 cm³

h = cm

6.ОптимизацияСложная

Театр продаёт 1700 билетов на спектакль по €15 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 50 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 50 больше). Найдите цену билета p, максимизирующую выручку.

1700 × €1550 / €1

p = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₁³ x·ln x dx.

∫₁³ x ln x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = 2x² и y = 2x.

y = 2x²y = 2x

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −0,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = −3x/(√(9x² − 3x) + 3x)

Разделите на x

f(x) = −3/(√(9 + (−3)/x) + 3)

Пусть x → ∞

L = −3/(3 + 3) = −0,5

Ответ

L = −0,5

2.Пределы

Ответ: L = 2,5

Правило Лопиталя

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[2·cos 2x]

Подставьте x = 0

L = 5/2 = 2,5

Ответ

L = 2,5

3.Производные

Ответ: f′(1) = −2,829

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Подставьте

f′(1) = 0,1411 + 3·(−0,99) = −2,829

Ответ

f′(1) = −2,829

4.Производные

Ответ: x = 2

Производная

f′(x) = 3x² − 6x = 3·(x² − 2x)

Решите f′(x) = 0

x = 0 или x = 2

Что есть что

f″(x) = 6x − 6: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(0) = −6, f″(2) = 6

x = 2

Ответ

x = 2

5.Оптимизация

Ответ: h = 9,847 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 750/(πr²)

A(r) = 2πr² + 1500/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 3000/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 1500/r² = 0 → r = ∛(750/(2π)) = 4,924 cm

Высота и площадь

h = 750/(π·4,924²) = 2r = 9,847 cm

A = 2π·4,924² + 1500/4,924 = 457 cm²

Ответ

h = 9,847 cm

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: p = 24,5 €

Выручка как функция цены

n(p) = 2450 − 50p

R(p) = 2450p − 50p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −100 < 0, поэтому это максимум.

p = 2450/100 = €24,5

Максимальная выручка

n = 2450 − 50·24,5 = 1225

R = 24,5·1225 = €30013

Ответ

p = €24,5

7.Интегралы

Ответ: I = 2,944

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Первообразная

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Пределы

(4,5·ln 3 − 2,25) − (0 − 0,25) = 2,944

Ответ

I = 2,944

8.Интегралы

Ответ: A = 0,3333

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

2x² = 2x → x = 0, x = 1

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [x² − 0,6667x³]₀¹ = 0,3333

Ответ

A = 0,3333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1