Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа
ΣIin = ΣIout
Ток ветви
I = (Va − Vb)/R
Опорный узел
Vground = 0

Метод

  1. Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
  2. Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
  3. Выразите ток каждой ветви как (Va − Vb)/R.
  4. Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Метод контурных токов

Закон напряжений Кирхгофа
ΣV = 0 в каждом контуре
Общий резистор
ток = I1 − I2
Источник тока в контуре
задаёт ток этого контура

Метод

  1. Нарисуйте в каждом контуре (ячейке) схемы контурный ток по часовой стрелке.
  2. Примените второй закон Кирхгофа к каждому контуру: сумма падений напряжения равна нулю.
  3. В резисторе, общем для двух контуров, ток равен разности двух контурных токов.
  4. Решите уравнения; отрицательный результат означает, что ток течёт в обратную сторону.

Метод наложения

Метод наложения
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Отключённый источник напряжения
короткое замыкание (0 V)
Отключённый источник тока
разрыв (0 A)
Делитель напряжения
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Делитель тока
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Метод

  1. Посчитайте независимые источники. Для каждого источника вы решите одну более простую схему.
  2. Оставьте один источник, а остальные отключите: источник напряжения заменяется коротким замыканием (проводом), источник тока — разрывом цепи.
  3. Найдите в упрощённой схеме нужное напряжение или ток, следя за направлением.
  4. Повторите для каждого источника, затем сложите вклады с учётом знаков.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина
Vth = Vopen circuit
Сопротивление Тевенина
Rth: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона
IN = Vth/Rth
Ток нагрузки
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальной мощности
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b: это Vth.
  3. Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это Rth.
  4. Верните нагрузку в эквивалентную схему: Vth последовательно с Rth.
  5. Для эквивалента Нортона преобразуйте: IN = Vth/Rth, с RN = Rth параллельно.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неинвертирующий усилитель
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Суммирующий усилитель
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Идеальный ОУ
V+ = V−, Iin = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 20 ΩIR1​R3​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAR4​10 ΩB

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 15 VR1 = 20 ΩR2 = 3 ΩR3 = 6 ΩR4 = 10 Ω
IR1 = A
2.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 20 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​5 VR2​4 ΩIR2​AR4​12 ΩBR6​3 Ω

Найдите ток IR2 через R2.

V1 = 5 VR1 = 20 ΩR2 = 4 ΩR3 = 12 ΩR4 = 12 ΩR5 = 5 ΩR6 = 3 Ω
IR2 = A
3.Метод узловых потенциаловСредняя
R1​ = 12 ΩR3​ = 15 ΩIR3​+−V1​6 VR2​5 ΩAR4​3 ΩBIs​5 A

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR3 через R3 в направлении стрелки.

V1 = 6 VIs = 5 AR1 = 12 ΩR2 = 5 ΩR3 = 15 ΩR4 = 3 Ω
IR3 = A
4.Метод узловых потенциаловСложная
R1​ = 20 Ω+−Vs​ = 4 V+−V1​18 VR2​3 ΩAR3​6 ΩBIs​1 A

Вывод + источника напряжения Vₛ между A и B находится у A, поэтому он задаёт VA − VB = Vₛ. Методом узловых потенциалов с супер-узлом найдите узловое напряжение VA (относительно земли).

V1 = 18 VIs = 1 AVs = 4 VR1 = 20 ΩR2 = 3 ΩR3 = 6 Ω
VA = V
5.Метод контурных токовСредняя
R1​ = 4 ΩIR1​R2​ = 3 Ω+−V1​6 VR3​20 ΩA+−V2​30 VI1​I2​

Используйте метод контурных токов, чтобы найти ток IR1 через R1 в направлении стрелки.

V1 = 6 VV2 = 30 VR1 = 4 ΩR2 = 3 ΩR3 = 20 Ω
IR1 = A
6.Метод контурных токовСложная
R1​ = 8 Ω+−VR1​R2​ = 4 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​9 VR4​6 ΩAR5​6 ΩB+−V2​36 VI1​I2​I3​

Используйте метод контурных токов, чтобы найти напряжение VR1 на R1 с указанной полярностью.

V1 = 9 VV2 = 36 VR1 = 8 ΩR2 = 4 ΩR3 = 30 ΩR4 = 6 ΩR5 = 6 Ω
VR1 = V
7.Метод наложенияСредняя
R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​12 ΩAR4​20 Ω+−VR4​BIs​2 A

Используйте метод наложения, чтобы найти напряжение VR4 на R4 с указанной полярностью.

V1 = 24 VIs = 2 AR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 8 ΩR4 = 20 Ω
VR4 = V
8.Метод наложенияСложная
R1​ = 15 ΩR2​ = 4 ΩIR2​R4​ = 8 Ω+−V1​30 VR3​5 ΩAIs​4 AB−+V2​18 V

Используйте метод наложения, чтобы найти ток IR2 через R2 в направлении стрелки.

V1 = 30 VIs = 4 AV2 = 18 VR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 5 ΩR4 = 8 Ω
IR2 = A
9.Тевенин и НортонСредняя
R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩAab

Найдите ток Нортона IN: ток, текущий от a к b, если зажимы замкнуть накоротко.

V1 = 30 VR1 = 2 ΩR2 = 10 ΩR3 = 2 Ω
IN = A
10.Тевенин и НортонСложная
R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAIs​6 ABRL​10 ΩIL​

К a–b подключена нагрузка RL = 10 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки IL.

V1 = 10 VIs = 6 AR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 8 ΩRL = 10 Ω
IL = A
11.Схемы на операционных усилителяхСредняя
−+Vout​Rf​ = ?R1​ = 100 kΩVin​

Подберите резистор обратной связи Rf, чтобы этот неинвертирующий усилитель имел коэффициент усиления по напряжению 8.

R1 = 100 kΩAv = 8
Rf = kΩ
12.Схемы на операционных усилителяхСложная
Vin​V1​Vout​каскад 1: инвертирующийR1​ = 47 kΩRf1​ = 47 kΩкаскад 2: неинвертирующийR2​ = 22 kΩRf2​ = 4,7 kΩ

Два каскада на идеальных ОУ соединены последовательно: инвертирующий усилитель (R1, Rf1), за ним неинвертирующий (R2 на землю, Rf2 в обратной связи). Оба питаются от ±15 V. Найдите общий коэффициент усиления по напряжению Av = Vout/Vin.

R1 = 47 kΩRf1 = 47 kΩR2 = 22 kΩRf2 = 4,7 kΩ
Av =
13.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​9 Vt = 0R = 22 ΩL150 mHi(t)

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение vL на катушке в момент t = 20 ms.

Vs = 9 VR = 22 ΩL = 150 mHt = 20 ms
vL = V
14.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​20 VR1​ = 22 ΩR2​ = 10 Ωразмыкается при t = 0L22 mHi(t)

Ключ, шунтирующий R2, был замкнут долгое время, поэтому ток катушки установившийся. При t = 0 ключ размыкается. Найдите ток катушки i при t = 1 ms.

Vs = 20 VR1 = 22 ΩR2 = 10 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 0,6659 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 20 ΩR3​ = 6 Ω+−V1​15 VR2​3 ΩAR4​10 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 6 + 10 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 3·16/(3+16) = 2,526 Ω
Req = R1 + 2,526 = 20 + 2,526 = 22,53 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 15/22,53 = 0,6659 A

Ответ

IR1 = 0,6659 A
2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR2 = 0,1738 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 20 ΩR3​ = 12 ΩR5​ = 5 Ω+−V1​5 VR2​4 ΩAR4​12 ΩBR6​3 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 5 + 3 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 4,8 Ω
R3 + 4,8 = 16,8 Ω
R2 ∥ 16,8 = 3,231 Ω
Req = R1 + 3,231 = 20 + 3,231 = 23,23 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 5/23,23 = 0,2152 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 5 − 0,2152·20 = 0,6954 V
IR2 = VA/R2 = 0,6954/4 = 0,1738 A

Ответ

IR2 = 0,1738 A
3.Метод узловых потенциалов

Ответ: IR3 = 0,7787 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 12 ΩR3​ = 15 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAR4​3 ΩBIs​5 A

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 6 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/5 + (VA − 6)/12 + (VA − VB)/15 = 0
0,35·VA − 0,06667·VB = 0,5

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/3 + (VB − VA)/15 = (−5)
−0,06667·VA + 0,4·VB = −5

Решите

Δ = (0,35)(0,4) − (−0,06667)(−0,06667) = 0,1356
VA = Δ1/Δ = −0,1333/0,1356 = −0,9836 V
VB = Δ2/Δ = −1,717/0,1356 = −12,66 V

Ответ

IR3 = (VA − VB)/R3 = (−0,9836 − −12,66)/15 = 0,7787 A
4.Метод узловых потенциалов

Ответ: VA = 4,667 V

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

Образуем супер-узел

Через источник напряжения между A и B течёт неизвестный ток, поэтому ЗТК нельзя записать отдельно для A или B. Объедините A, B и источник в один супер-узел: втекающий в него ток равен вытекающему.

VB = VA − 4
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + VB/R3 = Is

Решите

(VA − 18)/20 + VA/3 + (VA − 4)/6 = 1
VA·(1/20 + 1/3 + 1/6) = 1 + 18/20 + 4/6 = 2,567
VA = 2,567/0,55 = 4,667 V
VB = 0,6667 V

Ответ

VA = 4,667 V
5.Метод контурных токов

Ответ: IR1 = −3,039 A

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

R1​ = 4 ΩR2​ = 3 Ω+−V1​6 VR3​20 ΩA+−V2​30 VI1​I2​

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
4·I1 + 20(I1 − I2) = 6
24·I1 − 20·I2 = 6

ЗНК для контура 2

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
3·I2 + 20(I2 − I1) = (−30)
−20·I1 + 23·I2 = −30

Решите

Δ = (24)(23) − (−20)(−20) = 152
I1 = Δ1/Δ = −462/152 = −3,039 A
I2 = Δ2/Δ = −600/152 = −3,947 A

Ответ

IR1 = I1 = −3,039 A

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

6.Метод контурных токов

Ответ: VR1 = 4,552 V

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

R1​ = 8 ΩR2​ = 4 ΩR3​ = 30 Ω+−V1​9 VR4​6 ΩAR5​6 ΩB+−V2​36 VI1​I2​I3​

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
8·I1 + 6(I1 − I2) = 9
14·I1 − 6·I2 = 9

ЗНК для контура 2

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
4·I2 + 6(I2 − I1) + 6(I2 − I3) = 0
−6·I1 + 16·I2 − 6·I3 = 0

ЗНК для контура 3

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
30·I3 + 6(I3 − I2) = (−36)
−6·I2 + 36·I3 = −36

Решите

Δ = определитель матрицы коэффициентов = 6264
I1 = Δ1/Δ = 3564/6264 = 0,569 A
I2 = Δ2/Δ = −1080/6264 = −0,1724 A
I3 = Δ3/Δ = −6444/6264 = −1,029 A

Ответ

IR1 = I1 = 0,569 A
VR1 = IR1·R1 = 0,569·8 = 4,552 V

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

7.Метод наложения

Ответ: VR4 = 23,91 V

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​24 VR2​12 ΩAR4​20 ΩBОБРЫВ

Случай 1 · действует только V1

Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.

R3+R4 = 8+20 = 28 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 12·28/(12+28) = 8,4 Ω
VA = 24·8,4/(10+8,4) = 10,96 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 10,96·20/28 = 7,826 V
VR4′ = VB − 0 = 7,826 − 0 = 7,826 V
R1​ = 10 ΩR3​ = 8 ΩКЗR2​12 ΩAR4​20 ΩBIs​2 A

Случай 2 · действует только Is

V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ параллелен R₂. Iₛ в точке B делится между R₄ и путём через R₃.

R1 ∥ R2 = 10·12/(10+12) = 5,455 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 20 ∥ 13,45 = 8,043 Ω
VB = Is·Req = 2·8,043 = 16,09 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 16,09·5,455/13,45 = 6,522 V
VR4″ = VB − 0 = 16,09 − 0 = 16,09 V

Сложите составляющие

VR4 = VR4′ + VR4″
VR4 = 7,826 + 16,09 = 23,91 V

Отрицательный результат означает, что на самом деле полярность противоположна указанной.

8.Метод наложения

Ответ: IR2 = −0,4127 A

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

R1​ = 15 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 8 Ω+−V1​30 VR3​5 ΩAОБРЫВBКЗ

Случай 1 · действует только V1

V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 5 ∥ 12 = 3,529 Ω
VA = 30·3,529/(15+3,529) = 5,714 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 5,714·8/12 = 3,81 V
IR2′ = (VA − VB)/R2 = (5,714 − 3,81)/4 = 0,4762 A
R1​ = 15 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 8 ΩКЗR3​5 ΩAIs​4 ABКЗ

Случай 2 · действует только Is

Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 3,75 Ω, поэтому левый путь — R2+3,75 = 7,75 Ω
Req = R4 ∥ 7,75 = 3,937 Ω
VB = Is·Req = 4·3,937 = 15,75 V
VA = VB·3,75/7,75 = 7,619 V
IR2″ = (VA − VB)/R2 = (7,619 − 15,75)/4 = −2,032 A
R1​ = 15 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 8 ΩКЗR3​5 ΩAОБРЫВB−+V2​18 V

Случай 3 · действует только V2

V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.

R1 ∥ R3 = 15·5/(15+5) = 3,75 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = (−18)·7,75/15,75 = −8,857 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = −8,857·3,75/7,75 = −4,286 V
IR2‴ = (VA − VB)/R2 = (−4,286 − −8,857)/4 = 1,143 A

Сложите составляющие

IR2 = IR2′ + IR2″ + IR2‴
IR2 = 0,4762 + (−2,032) + 1,143 = −0,4127 A

Отрицательный результат означает, что на самом деле ток течёт против стрелки.

9.Тевенин и Нортон

Ответ: IN = 6,818 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 2 ΩКЗR2​10 ΩAabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 2·10/(2+10) = 1,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,667 + 2 = 3,667 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​30 VR2​10 ΩAab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 30·10/(2+10) = 25 V
IN​6,818 ARth​3,667 Ωab

Эквивалент Нортона

Источник Нортона — та же цепь, представленная как источник тока, параллельный R_th. Его ток — это ток короткого замыкания на a–b.

IN = Vth/Rth = 25/3,667 = 6,818 A
10.Тевенин и Нортон

Ответ: IL = 3,159 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 10 ΩR3​ = 8 ΩКЗR2​3 ΩAОБРЫВBabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 10·3/(10+3) = 2,308 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,308 + 8 = 10,31 Ω
R1​ = 10 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​10 VR2​3 ΩAIs​6 ABab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2,308 + 6·2,308 = 16,15 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 16,15 + 6·8 = 64,15 V
Rth​ = 10,31 Ω+−Vth​64,15 VRL​10 ΩIL​

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 64,15/(10,31 + 10) = 3,159 A
11.Схемы на операционных усилителях

Ответ: Rf = 700 kΩ

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя

V₋ = V₊ = Vin, а ток через R₁ течёт и через Rf, поэтому Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).

Av = 1 + Rf/R1
Rf = (8 − 1)·100 = 700 kΩ

Ответ

Rf = 700 kΩ
12.Схемы на операционных усилителях

Ответ: Av = −1,214

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Коэффициент усиления каждого каскада

A1 = −Rf1/R1 = −47/47 = −1
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 4,7/22 = 1,214

Общий коэффициент усиления

Av = A1·A2 = −1·1,214 = −1,214

Ответ

Av = −1,214
13.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vL = 0,479 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6,818 ms
i(∞) = Vs/R = 9/22 = 0,4091 A

Напряжение на катушке

В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.

vL(t) = Vs·e−t/τ = 9·e−20/6,818 = 0,479 V

Ответ

vL = 0,479 V
14.Переходные процессы RC и RL

Ответ: i = 0,6913 A

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

До t = 0 замкнутый ключ шунтирует R₂; после этого в контур входят и R₁, и R₂.

i(0) = 20/22 = 0,9091 A
i(∞) = 20/(22 + 10) = 0,625 A
τ = L/R = 22/32 = 0,6875 ms
i(t) = 0,625 + (0,9091 − 0,625)·e−t/τ

Ток в заданный момент

i(1) = 0,625 + (0,2841)·e−1/0,6875 = 0,6913 A

Ответ

i = 0,6913 A

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1