Ромб — это источник тока, управляемый напряжением, который направляет ток 0,25·VA (в A при VA в V) вверх в узел B. Методом узловых потенциалов найдите ток IR4 через R4 в направлении стрелки.
К a–b подключена нагрузка RL = 3 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки IL.
V1 = 12 VR1 = 15 ΩR2 = 8 ΩR3 = 12 ΩRL = 3 Ω
IL = A
10.Тевенин и НортонСложная
Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.
V1 = 15 VIs = 0,5 AR1 = 6 ΩR2 = 5 ΩR3 = 20 Ω
Vth = V
11.Схемы на операционных усилителяхСредняя
ОУ идеальный и питается от ±15 V. Найдите выходное напряжение Vout.
Vin = 0,8 VR1 = 2 kΩRf = 10 kΩ
Vout = V
12.Схемы на операционных усилителяхСложная
Интегратор выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V; его выход насыщается на уровне ±12 V. Конденсатор не заряжен, когда при t = 0 подаётся постоянное входное напряжение Vin = 0,4 V. Найдите выходное напряжение Vout при t = 20 ms.
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите напряжение vL на катушке в момент t = 5 ms.
Vs = 5 VR = 68 ΩL = 220 mHt = 5 ms
vL = V
14.Переходные процессы RC и RLСложная
Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 9 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 8,1 V, ровно через 200 ms после старта. При R = 1 kΩ найдите необходимую ёмкость C.
Vs = 9 VVth = 8,1 VT = 200 msR = 1 kΩ
C = µF
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 2,4 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 6 + 12 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 6·18/(6+18) = 4,5 Ω
Req = R1 + 4,5 = 3 + 4,5 = 7,5 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 24/7,5 = 3,2 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 3,2·3 = 14,4 V
IR2 = VA/R2 = 14,4/6 = 2,4 A
Ответ
IR2 = 2,4 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR2 = 1,042 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 5 + 6 = 11 Ω
R4 ∥ 11 = 8,049 Ω
R3 + 8,049 = 28,05 Ω
R2 ∥ 28,05 = 1,867 Ω
Req = R1 + 1,867 = 25 + 1,867 = 26,87 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 30/26,87 = 1,117 A
Ток через R₂
Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.
VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 1,117·25 = 2,085 V
IR2 = VA/R2 = 2,085/2 = 1,042 A
Ответ
IR2 = 1,042 A
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: IR3 = 2,126 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 15 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/12 + (VA − 15)/3 + (VA − VB)/10 = 0
0,5167·VA − 0,1·VB = 5
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники направляют в A.
(VA − V1)/R1 + VA/R2 + (VA − VB)/R3 = 0
0,25·VA − 0,1·VB = 2,5
ЗТК в узле B
Зависимый источник направляет ток g·VA в узел B. Рассматривайте его как независимый источник, а затем перенесите член с VA в левую часть.
(VB − VA)/R3 + VB/R4 = 0,25·VA
−0,35·VA + 0,2667·VB = 0
Решите
Δ = (0,25)(0,2667) − (−0,1)(−0,35) = 0,03167
VA = Δ1/Δ = 0,6667/0,03167 = 21,05 V
VB = Δ2/Δ = 0,875/0,03167 = 27,63 V
Ток через R₄
IR4 = VB/R4 = 27,63/6 = 4,605 A
Ответ
IR4 = 4,605 A
5.Метод контурных токов
Ответ: VR3 = 7,2 V
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
4·I1 + 12(I1 − I2) = 6
16·I1 − 12·I2 = 6
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
12·I2 + 12(I2 − I1) = (−18)
−12·I1 + 24·I2 = −18
Решите
Δ = (16)(24) − (−12)(−12) = 240
I1 = Δ1/Δ = −72/240 = −0,3 A
I2 = Δ2/Δ = −216/240 = −0,9 A
Ответ
IR3 = I1 − I2 = 0,6 A
VR3 = IR3·R3 = 0,6·12 = 7,2 V
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
6.Метод контурных токов
Ответ: I1 = 0,9634 A
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
30·I1 + 8(I1 − I2) = 36
38·I1 − 8·I2 = 36
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
4·I2 + 8(I2 − I1) + 8(I2 − I3) = 0
−8·I1 + 20·I2 − 8·I3 = 0
ЗНК для контура 3
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
30·I3 + 8(I3 − I2) = (−30)
−8·I2 + 38·I3 = −30
Решите
Δ = определитель матрицы коэффициентов = 24016
I1 = Δ1/Δ = 23136/24016 = 0,9634 A
I2 = Δ2/Δ = 1824/24016 = 0,07595 A
I3 = Δ3/Δ = −18576/24016 = −0,7735 A
Ответ
I1 = 0,9634 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
7.Метод наложения
Ответ: Is = 0,9 A
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.
V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ ∥ R₂ подключены между A и землёй. Iₛ делится в узле B между R₄ и ветвью R₃ + R₁∥R₂; часть через R₃ течёт от B к A, против стрелки.
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.
R3 ∥ (R2+R4) = 25 ∥ 6 = 4,839 Ω
VA = 5·4,839/(30+4,839) = 0,6944 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 0,6944·2/6 = 0,2315 V
Случай 2 · действует только Is
Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃. Стрелка Iₛ направлена вниз, от своего узла, поэтому Iₛ отводит ток из этого узла: его член входит со знаком минус.
R1 ∥ R3 = 13,64 Ω, поэтому левый путь — R2+13,64 = 17,64 Ω
Req = R4 ∥ 17,64 = 1,796 Ω
VB = −Is·Req = −5·1,796 = −8,981 V
VA = VB·13,64/17,64 = −6,944 V
Случай 3 · действует только V2, на один вольт
V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.
R1 ∥ R3 = 13,64 Ω
VA‴ = V2·13,64/(2 + 4 + 13,64) = 0,6944·V2
Приравниваем VA к нулю
При VA = 0 напряжение на R₃ отсутствует, поэтому ток через него равен нулю.
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 15·8/(15+8) = 5,217 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5,217 + 12 = 17,22 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 12·8/(15+8) = 4,174 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 4,174/(17,22 + 3) = 0,2065 A
10.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 18,18 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 6·5/(6+5) = 2,727 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,727 + 20 = 22,73 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 6,818 + 0,5·2,727 = 8,182 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 8,182 + 0,5·20 = 18,18 V
11.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Vout = 4,8 V
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Инвертирующий вход повторяет вход
V₋ = V₊ = 0,8 V
I = V₋/R1 = 0,8/2 = 0,4 mA
Выходное напряжение
Ток через R₁ течёт и через Rf.
Vout = V₋ + I·Rf = 0,8 + 0,4·10 = 4,8 V
Ответ
Vout = 4,8 V
12.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Vout = −3,636 V
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Входной ток и скорость нарастания
kΩ умножить на µF даёт миллисекунды.
RC = 1 kΩ · 2,2 µF = 2,2 ms
скорость нарастания = −Vin/(RC) = −0,4/2,2 = −0,1818 V/ms
Выходное напряжение в заданный момент
Идеальное значение лежит в пределах ±Vsat, поэтому интегратор ещё не вошёл в ограничение.
Vout = −Vin·t/(RC) = −0,4·20/2,2 = −3,636 V
Ответ
Vout = −3,636 V
13.Переходные процессы RC и RL
Ответ: vL = 1,066 V
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 220 mH / 68 Ω = 3,235 ms
i(∞) = Vs/R = 5/68 = 0,07353 A
Напряжение на катушке
В момент t = 0 всё напряжение питания приложено к катушке; затем оно спадает до нуля.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 5·e−5/3,235 = 1,066 V
Ответ
vL = 1,066 V
14.Переходные процессы RC и RL
Ответ: C = 86,86 µF
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.