Между узлом A и землёй включены три ветви, как показано на схеме. Методом узловых потенциалов найдите ток I1 в ветви 1, текущий вверх в узел A по направлению стрелки.
Линейная резистивная цепь содержит один источник напряжения Vs и один источник тока Is. Ток I через нагрузочный резистор измерен дважды: при Vs = 20 V и Is = 2 mA I = 25,5 mA; при Vs = 10 V и Is = 4 mA I = 15 mA. Найдите ток нагрузки I при Vs = 2 V и Is = 2 mA.
20 V, 2 mA → 25,5 mA10 V, 4 mA → 15 mAVs = 2 V, Is = 2 mA
I = mA
8.Метод наложенияСложная
Используйте метод наложения, чтобы найти напряжение VR3 на R3 с указанной полярностью.
К a–b подключена нагрузка RL = 3 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки IL.
V1 = 9 VR1 = 10 ΩR2 = 15 ΩR3 = 4 ΩRL = 3 Ω
IL = A
10.Тевенин и НортонСложная
Найдите напряжение Тевенина Vth со стороны зажимов a–b.
V1 = 18 VIs = 2,5 AR1 = 8 ΩR2 = 30 ΩR3 = 12 Ω
Vth = V
11.Схемы на операционных усилителяхСредняя
Подберите резистор обратной связи Rf, чтобы этот неинвертирующий усилитель имел коэффициент усиления по напряжению 3.
R1 = 10 kΩAv = 3
Rf = kΩ
12.Схемы на операционных усилителяхСложная
Два каскада на идеальных ОУ соединены последовательно: инвертирующий усилитель (R1, Rf1), за ним неинвертирующий (R2 на землю, Rf2 в обратной связи). Оба питаются от ±15 V. Входное напряжение Vin = 0,15 V. Найдите выходное напряжение Vout.
До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Через какое время после замыкания ключа ток достигнет 80% конечного значения? Найдите t.
Vs = 20 VR = 20 ΩL = 10 mH
t = ms
14.Переходные процессы RC и RLСложная
Таймер при t = 0 начинает заряжать незаряженный конденсатор через резистор от источника 9 V. Он должен сработать, когда напряжение конденсатора достигнет 5,69 V, ровно через 20 ms после старта. При C = 10 µF найдите необходимое сопротивление R.
Vs = 9 VVth = 5,69 VT = 20 msC = 10 µF
R = kΩ
3Растворы
1.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: IR1 = 1,633 A
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R3 + R4 = 3 + 4 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 20·7/(20+7) = 5,185 Ω
Req = R1 + 5,185 = 4 + 5,185 = 9,185 Ω
Ток источника
Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.
IR1 = V1/Req = 15/9,185 = 1,633 A
Ответ
IR1 = 1,633 A
2.Последовательные и параллельные резисторы
Ответ: Req = 34,4 Ω
Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.
Объединяйте резисторы с дальнего конца
Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.
R5 + R6 = 25 + 15 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 13,33 Ω
R3 + 13,33 = 43,33 Ω
R2 ∥ 43,33 = 9,398 Ω
Req = R1 + 9,398 = 25 + 9,398 = 34,4 Ω
Ответ
Req = 34,4 Ω
3.Метод узловых потенциалов
Ответ: I1 = 0,1333 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
ЗТК в узле A
Примите нижний провод за землю. Каждая ветвь проводит ток (VA − Vk)/Rk, вытекающий из A, где Vk — напряжение её источника (ноль для простого резистора). Сумма токов, вытекающих из A, равна нулю.
(VA − 15)/5 + (VA − 10)/20 + (VA − 15)/8 = 0
Находим VA
VA = (15/5 + 10/20 + 15/8) / (1/5 + 1/20 + 1/8) = 5,375/0,375 = 14,33 V
Ток ветви
Стрелка направлена вверх по ветви, в узел A.
I1 = (15 − VA)/R1 = (15 − 14,33)/5 = 0,1333 A
Ответ
I1 = 0,1333 A
Отрицательный результат означает, что в действительности ток течёт против стрелки.
4.Метод узловых потенциалов
Ответ: IR2 = 0,2655 A
Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.
Определите узлы
Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 30 V, V2 = 9 V). Неизвестные: VA, VB.
ЗТК в узле A
Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.
VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/6 + (VA − 30)/4 + (VA − VB)/30 = 0
0,45·VA − 0,03333·VB = 7,5
ЗТК в узле B
Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
3·I1 + 12(I1 − I2) = 12
15·I1 − 12·I2 = 12
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
5·I2 + 12(I2 − I1) = (−10)
−12·I1 + 17·I2 = −10
Решите
Δ = (15)(17) − (−12)(−12) = 111
I1 = Δ1/Δ = 84/111 = 0,7568 A
I2 = Δ2/Δ = −6/111 = −0,05405 A
Ответ
IR1 = I1 = 0,7568 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
6.Метод контурных токов
Ответ: IR4 = 0,08131 A
Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.
Задайте контурные токи
В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.
ЗНК для контура 1
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
8·I1 + 30(I1 − I2) = 6
38·I1 − 30·I2 = 6
ЗНК для контура 2
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
3·I2 + 30(I2 − I1) + 2(I2 − I3) = 0
−30·I1 + 35·I2 − 2·I3 = 0
ЗНК для контура 3
При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).
R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
15·I3 + 2(I3 − I2) = (−6)
−2·I2 + 17·I3 = −6
Решите
Δ = определитель матрицы коэффициентов = 7158
I1 = Δ1/Δ = 3186/7158 = 0,4451 A
I2 = Δ2/Δ = 2604/7158 = 0,3638 A
I3 = Δ3/Δ = −2220/7158 = −0,3101 A
Ответ
IR4 = I1 − I2 = 0,08131 A
Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.
7.Метод наложения
Ответ: I = 3,9 mA
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Записываем отклик как сумму вкладов
Каждый вклад пропорционален своему источнику с коэффициентом, зависящим только от резисторов.
I = k₁·Vs + k₂·Is
20·k₁ + 2·k₂ = 25,5
10·k₁ + 4·k₂ = 15
Находим константы
Δ = (20)(4) − (2)(10) = 60
k₁ = Δ1/Δ = 72/60 = 1,2
k₂ = Δ2/Δ = 45/60 = 0,75
k₁ = 1,2 mA/V, k₂ = 0,75
Предсказываем новый ток
I = 1,2·2 + 0,75·2 = 3,9 mA
Ответ
I = 3,9 mA
8.Метод наложения
Ответ: VR3 = −8,828 V
Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.
Случай 1 · действует только V1
V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.
R3 ∥ (R2+R4) = 10 ∥ 42 = 8,077 Ω
VA = 15·8,077/(8+8,077) = 7,536 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 7,536·30/42 = 5,383 V
VR3′ = VA − 0 = 7,536 − 0 = 7,536 V
Случай 2 · действует только Is
Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃.
R1 ∥ R3 = 4,444 Ω, поэтому левый путь — R2+4,444 = 16,44 Ω
Req = R4 ∥ 16,44 = 10,62 Ω
VB = Is·Req = (−6)·10,62 = −63,73 V
VA = VB·4,444/16,44 = −17,22 V
VR3″ = VA − 0 = −17,22 − 0 = −17,22 V
Случай 3 · действует только V2
V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.
R1 ∥ R3 = 8·10/(8+10) = 4,444 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 9·16,44/46,44 = 3,187 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 3,187·4,444/16,44 = 0,8612 V
VR3‴ = VA − 0 = 0,8612 − 0 = 0,8612 V
Сложите составляющие
VR3 = VR3′ + VR3″ + VR3‴
VR3 = 7,536 + (−17,22) + 0,8612 = −8,828 V
Отрицательный результат означает, что на самом деле полярность противоположна указанной.
9.Тевенин и Нортон
Ответ: IL = 0,4154 A
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 10·15/(10+15) = 6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6 + 4 = 10 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 9·15/(10+15) = 5,4 V
Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина
Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.
IL = Vth/(Rth + RL) = 5,4/(10 + 3) = 0,4154 A
10.Тевенин и Нортон
Ответ: Vth = 60 V
Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.
Найдите Rth со всеми отключёнными источниками
Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.
R1 ∥ R2 = 8·30/(8+30) = 6,316 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6,316 + 12 = 18,32 Ω
Найдите Vth — напряжение холостого хода
Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 14,21 + 2,5·6,316 = 30 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 30 + 2,5·12 = 60 V
11.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Rf = 20 kΩ
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Коэффициент усиления неинвертирующего усилителя
V₋ = V₊ = Vin, а ток через R₁ течёт и через Rf, поэтому Vout = Vin·(1 + Rf/R₁).
Av = 1 + Rf/R1
Rf = (3 − 1)·10 = 20 kΩ
Ответ
Rf = 20 kΩ
12.Схемы на операционных усилителях
Ответ: Vout = −3,63 V
Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.
Коэффициент усиления каждого каскада
A1 = −Rf1/R1 = −22/1 = −22
A2 = 1 + Rf2/R2 = 1 + 1/10 = 1,1
Каскад за каскадом
V1 = −22·0,15 = −3,3 V
Vout = 1,1·(−3,3) = −3,63 V
Ответ
Vout = −3,63 V
13.Переходные процессы RC и RL
Ответ: t = 0,8047 ms
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.
Постоянная времени и конечный ток
Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.
τ = L/R = 10 mH / 20 Ω = 0,5 ms
i(∞) = Vs/R = 20/20 = 1 A
Выразите время
0,8 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,8)
t = −0,5·ln(0,2) = 0,8047 ms
Ответ
t = 0,8047 ms
14.Переходные процессы RC и RL
Ответ: R = 1,999 kΩ
Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.