Теория электрических цепей 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Последовательные и параллельные резисторы

Последовательное соединение резисторов
Req = R1 + R2 + …
Параллельное соединение резисторов
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Два параллельно
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Закон Ома
V = I·R
Мощность
P = V·I = I²R = V²/R

Метод

  1. Начните с конца цепи, наиболее удалённого от зажимов.
  2. Последовательные резисторы складывайте, а параллельные объединяйте по формуле 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. После каждого шага перерисовывайте схему.
  4. Повторяйте, пока между зажимами не останется один резистор.

Метод узловых потенциалов

Закон токов Кирхгофа
ΣIin = ΣIout
Ток ветви
I = (Va − Vb)/R
Опорный узел
Vground = 0

Метод

  1. Выберите опорный узел (землю) и обозначьте потенциалы остальных узлов.
  2. Запишите первый закон Кирхгофа для каждого неизвестного узла: сумма токов, вытекающих по ветвям, равна сумме втекающих.
  3. Выразите ток каждой ветви как (Va − Vb)/R.
  4. Решите систему уравнений, затем найдите нужные токи.

Метод контурных токов

Закон напряжений Кирхгофа
ΣV = 0 в каждом контуре
Общий резистор
ток = I1 − I2
Источник тока в контуре
задаёт ток этого контура

Метод

  1. Нарисуйте в каждом контуре (ячейке) схемы контурный ток по часовой стрелке.
  2. Примените второй закон Кирхгофа к каждому контуру: сумма падений напряжения равна нулю.
  3. В резисторе, общем для двух контуров, ток равен разности двух контурных токов.
  4. Решите уравнения; отрицательный результат означает, что ток течёт в обратную сторону.

Метод наложения

Метод наложения
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
Отключённый источник напряжения
короткое замыкание (0 V)
Отключённый источник тока
разрыв (0 A)
Делитель напряжения
V2 = V·R2/(R1 + R2)
Делитель тока
I1 = I·R2/(R1 + R2)

Метод

  1. Посчитайте независимые источники. Для каждого источника вы решите одну более простую схему.
  2. Оставьте один источник, а остальные отключите: источник напряжения заменяется коротким замыканием (проводом), источник тока — разрывом цепи.
  3. Найдите в упрощённой схеме нужное напряжение или ток, следя за направлением.
  4. Повторите для каждого источника, затем сложите вклады с учётом знаков.

Тевенин и Нортон

Напряжение Тевенина
Vth = Vopen circuit
Сопротивление Тевенина
Rth: все источники отключены, со стороны a–b
Ток Нортона
IN = Vth/Rth
Ток нагрузки
IL = Vth/(Rth + RL)
Передача максимальной мощности
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)

Метод

  1. Отключите нагрузку и обозначьте два зажима a и b.
  2. Найдите напряжение холостого хода между a и b: это Vth.
  3. Отключите все независимые источники и найдите сопротивление со стороны a–b: это Rth.
  4. Верните нагрузку в эквивалентную схему: Vth последовательно с Rth.
  5. Для эквивалента Нортона преобразуйте: IN = Vth/Rth, с RN = Rth параллельно.

Схемы на операционных усилителях

Инвертирующий усилитель
Vout = −(Rf/Rin)·Vin
Неинвертирующий усилитель
Vout = (1 + Rf/R1)·Vin
Суммирующий усилитель
Vout = −Rf(V1/R1 + V2/R2)
Идеальный ОУ
V+ = V−, Iin = 0

Переходные процессы RC и RL

Постоянная времени
τ = RC | τ = L/R
Отклик
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Конденсатор на постоянном токе
разрыв; vC не может измениться скачком
Катушка на постоянном токе
короткое замыкание; iL не может измениться скачком
Установившийся режим
t ≈ 5τ

Метод

  1. Найдите начальное значение сразу после коммутации: напряжение на конденсаторе и ток в катушке не могут изменяться скачком.
  2. Найдите установившееся значение спустя долгое время после коммутации: конденсатор ведёт себя как разрыв, катушка — как короткое замыкание.
  3. Найдите постоянную времени: τ = RC или τ = L/R, где берётся сопротивление со стороны конденсатора или катушки.
  4. Используйте x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

2Тренировочные задачи

1.Последовательные и параллельные резисторыСредняя
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 5 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAR4​2 ΩB

Найдите ток IR1, отдаваемый источником и текущий через R1.

V1 = 24 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 5 ΩR4 = 2 Ω
IR1 = A
2.Последовательные и параллельные резисторыСложная
R1​ = 2 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​36 VR2​25 ΩIR2​AR4​10 ΩBR6​3 Ω

Найдите ток IR2 через R2.

V1 = 36 VR1 = 2 ΩR2 = 25 ΩR3 = 15 ΩR4 = 10 ΩR5 = 8 ΩR6 = 3 Ω
IR2 = A
3.Метод узловых потенциаловСредняя
R1​ = 2 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​8 ΩBIs​5 A

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти узловое напряжение VA (относительно земли).

V1 = 24 VIs = 5 AR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 4 ΩR4 = 8 Ω
VA = V
4.Метод узловых потенциаловСложная
R1​ = 6 ΩIR1​R2​ = 25 ΩR4​ = 3 Ω+−V1​10 VR3​4 ΩAR5​30 ΩBIs​5 A−+V2​12 V

Используйте метод узловых потенциалов, чтобы найти ток IR1 через R1 в направлении стрелки.

V1 = 10 VIs = 5 AV2 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 25 ΩR3 = 4 ΩR4 = 3 ΩR5 = 30 Ω
IR1 = A
5.Метод контурных токовСредняя
R1​ = 5 ΩIR1​R2​ = 5 Ω+−V1​15 VR3​12 ΩA+−V2​10 VI1​I2​

Используйте метод контурных токов, чтобы найти ток IR1 через R1 в направлении стрелки.

V1 = 15 VV2 = 10 VR1 = 5 ΩR2 = 5 ΩR3 = 12 Ω
IR1 = A
6.Метод контурных токовСложная
R1​ = 8 ΩR2​ = 30 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR4​5 ΩAR5​30 ΩB+−V2​18 VI1​I2​I3​

Используйте метод контурных токов, чтобы найти контурный ток I2 (по часовой стрелке).

V1 = 9 VV2 = 18 VR1 = 8 ΩR2 = 30 ΩR3 = 10 ΩR4 = 5 ΩR5 = 30 Ω
I2 = A
7.Метод наложенияСредняя
R1​ = 15 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩIR2​AR4​4 ΩBIs​5 A

Используйте метод наложения, чтобы найти ток IR2 через R2 в направлении стрелки.

V1 = 6 VIs = 5 AR1 = 15 ΩR2 = 5 ΩR3 = 10 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
8.Метод наложенияСложная
R1​ = 30 ΩR2​ = 4 ΩIR2​R4​ = 4 Ω+−V1​30 VR3​15 ΩAIs​1,5 AB+−V2​12 V

Используйте метод наложения, чтобы найти мощность PR2, потребляемую R2.

V1 = 30 VIs = 1,5 AV2 = 12 VR1 = 30 ΩR2 = 4 ΩR3 = 15 ΩR4 = 4 Ω
PR2 = W
9.Тевенин и НортонСредняя
R1​ = 2 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩARL​8 ΩIL​B

К a–b подключена нагрузка RL = 8 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки IL.

V1 = 6 VR1 = 2 ΩR2 = 12 ΩR3 = 5 ΩRL = 8 Ω
IL = A
10.Тевенин и НортонСложная
R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAIs​0,5 ABRL​2 ΩIL​

К a–b подключена нагрузка RL = 2 Ω. Замените остальную цепь эквивалентом Тевенина и найдите ток нагрузки IL.

V1 = 24 VIs = 0,5 AR1 = 12 ΩR2 = 15 ΩR3 = 10 ΩRL = 2 Ω
IL = A
11.Схемы на операционных усилителяхСредняя
−+Vout​R2​ = 47 kΩV1​ = 0,3 VR1​ = 4,7 kΩV2​ = 0,7 VR3​ = 4,7 kΩR4​ = 47 kΩ

Дифференциальный усилитель выполнен на идеальном ОУ с питанием ±15 V, при этом R3 = R1 и R4 = R2. Найдите напряжение V− на инвертирующем входе.

V1 = 0,3 VV2 = 0,7 VR1 = R3 = 4,7 kΩR2 = R4 = 47 kΩ
V− = V
12.Схемы на операционных усилителяхСложная
−+Vout​Rf​ = 1 kΩV1​ = 1,1 VR1​ = 10 kΩV2​ = 0,9 VR2​ = 1 kΩIf​

Суммирующий усилитель использует идеальный ОУ с питанием ±15 V. Найдите ток If через резистор обратной связи, текущий к выходу.

V1 = 1,1 VV2 = 0,9 VR1 = 10 kΩR2 = 1 kΩRf = 1 kΩ
If = mA
13.Переходные процессы RC и RLСредняя
+−Vs​10 Vt = 0R = 50 ΩL10 mHi(t)

До замыкания ключа в момент t = 0 тока через катушку нет. Найдите энергию W(∞), запасённую в катушке после установления режима, в mJ.

Vs = 10 VR = 50 ΩL = 10 mH
W(∞) = mJ
14.Переходные процессы RC и RLСложная
+−Vs​12 Vt = 0R = 3,3 kΩC10 µF+−vC​vC​(0) = 20 V

Непосредственно перед замыканием ключа в момент t = 0 конденсатор заряжен до 20 V с указанной полярностью. Найдите напряжение на конденсаторе vC в момент t = 30 ms.

Vs = 12 VR = 3,3 kΩC = 10 µFvC(0) = 20 Vt = 30 ms
vC = V

3Растворы

1.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR1 = 1,189 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 15 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​24 VR2​20 ΩAR4​2 ΩB

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R3 + R4 = 5 + 2 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 20·7/(20+7) = 5,185 Ω
Req = R1 + 5,185 = 15 + 5,185 = 20,19 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 24/20,19 = 1,189 A

Ответ

IR1 = 1,189 A
2.Последовательные и параллельные резисторы

Ответ: IR2 = 1,222 A

Последовательное и параллельное соединение: последовательно через каждый резистор течёт один и тот же ток и R = R₁ + R₂ + …. Параллельно на каждом резисторе одно и то же напряжение и 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Лестничную цепь упрощают по одной паре, пока не останется одно эквивалентное сопротивление.

R1​ = 2 ΩR3​ = 15 ΩR5​ = 8 Ω+−V1​36 VR2​25 ΩAR4​10 ΩBR6​3 Ω

Объединяйте резисторы с дальнего конца

Начните с конца, самого дальнего от источника, и двигайтесь к нему. Резисторы с одинаковым током соединены последовательно; резисторы между одними и теми же двумя узлами — параллельно.

R5 + R6 = 8 + 3 = 11 Ω
R4 ∥ 11 = 5,238 Ω
R3 + 5,238 = 20,24 Ω
R2 ∥ 20,24 = 11,18 Ω
Req = R1 + 11,18 = 2 + 11,18 = 13,18 Ω

Ток источника

Источник видит только Req, поэтому закон Ома даёт ток, который он отдаёт. Этот ток течёт через R₁.

IR1 = V1/Req = 36/13,18 = 2,731 A

Ток через R₂

Вычтите падение на R₁, чтобы получить напряжение в узле A, то есть напряжение на R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 2,731·2 = 30,54 V
IR2 = VA/R2 = 30,54/25 = 1,222 A

Ответ

IR2 = 1,222 A
3.Метод узловых потенциалов

Ответ: VA = 16,73 V

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 2 ΩR3​ = 4 Ω+−V1​24 VR2​3 ΩAR4​8 ΩBIs​5 A

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 24 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R2 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R3 = 0
VA/3 + (VA − 24)/2 + (VA − VB)/4 = 0
1,083·VA − 0,25·VB = 12

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R4 + (VB − VA)/R3 = Is
VB/8 + (VB − VA)/4 = 5
−0,25·VA + 0,375·VB = 5

Решите

Δ = (1,083)(0,375) − (−0,25)(−0,25) = 0,3438
VA = Δ1/Δ = 5,75/0,3438 = 16,73 V
VB = Δ2/Δ = 8,417/0,3438 = 24,48 V

Ответ

VA = 16,73 V
4.Метод узловых потенциалов

Ответ: IR1 = 1,017 A

Метод узловых потенциалов: выберите опорный узел, обозначьте неизвестные узловые напряжения, запишите закон токов Кирхгофа для каждого неизвестного узла с помощью закона Ома (I = ΔV/R) и решите полученные уравнения.

R1​ = 6 ΩR2​ = 25 ΩR4​ = 3 Ω+−V1​10 VR3​4 ΩAR5​30 ΩBIs​5 A−+V2​12 V

Определите узлы

Земля — нижний провод. Известные узловые напряжения берутся прямо из источников (V1 = 10 V, V2 = −12 V). Неизвестные: VA, VB.

ЗТК в узле A

Токи, вытекающие из A через резисторы, равны току, который источники подают в A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/4 + (VA − 10)/6 + (VA − VB)/25 = 0
0,4567·VA − 0,04·VB = 1,667

ЗТК в узле B

Токи, вытекающие из B через резисторы, равны току, который источники подают в B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/30 + (VB − VA)/25 + (VB − (−12))/3 = 5
−0,04·VA + 0,4067·VB = 1

Решите

Δ = (0,4567)(0,4067) − (−0,04)(−0,04) = 0,1841
VA = Δ1/Δ = 0,7178/0,1841 = 3,899 V
VB = Δ2/Δ = 0,5233/0,1841 = 2,842 V

Ответ

IR1 = (V1 − VA)/R1 = (10 − 3,899)/6 = 1,017 A
5.Метод контурных токов

Ответ: IR1 = 0,931 A

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

R1​ = 5 ΩR2​ = 5 Ω+−V1​15 VR3​12 ΩA+−V2​10 VI1​I2​

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
5·I1 + 12(I1 − I2) = 15
17·I1 − 12·I2 = 15

ЗНК для контура 2

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
5·I2 + 12(I2 − I1) = (−10)
−12·I1 + 17·I2 = −10

Решите

Δ = (17)(17) − (−12)(−12) = 145
I1 = Δ1/Δ = 135/145 = 0,931 A
I2 = Δ2/Δ = 10/145 = 0,06897 A

Ответ

IR1 = I1 = 0,931 A

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

6.Метод контурных токов

Ответ: I2 = −0,2474 A

Метод контурных токов: дайте каждому окну плоской цепи свой контурный ток, запишите закон напряжений Кирхгофа для каждого контура (сумма падений = сумма подъёмов) и решите. Токи ветвей — это контурный ток или разность двух контурных токов в общей ветви.

R1​ = 8 ΩR2​ = 30 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​9 VR4​5 ΩAR5​30 ΩB+−V2​18 VI1​I2​I3​

Задайте контурные токи

В каждом окне нарисуйте ток по часовой стрелке: I1, I2, I3. Резистор, общий для двух контуров, проводит разность их токов.

ЗНК для контура 1

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
8·I1 + 5(I1 − I2) = 9
13·I1 − 5·I2 = 9

ЗНК для контура 2

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
30·I2 + 5(I2 − I1) + 30(I2 − I3) = 0
−5·I1 + 65·I2 − 30·I3 = 0

ЗНК для контура 3

При обходе по часовой стрелке падения напряжения на резисторах равны подъёмам напряжения источников (от − к + в направлении обхода).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
10·I3 + 30(I3 − I2) = (−18)
−30·I2 + 40·I3 = −18

Решите

Δ = определитель матрицы коэффициентов = 21100
I1 = Δ1/Δ = 12600/21100 = 0,5972 A
I2 = Δ2/Δ = −5220/21100 = −0,2474 A
I3 = Δ3/Δ = −13410/21100 = −0,6355 A

Ответ

I2 = −0,2474 A

Отрицательный контурный ток течёт против часовой стрелки.

7.Метод наложения

Ответ: IR2 = −0,6085 A

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

R1​ = 15 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​5 ΩAR4​4 ΩBОБРЫВ

Случай 1 · действует только V1

Iₛ становится разрывом, поэтому R₃ и R₄ образуют одну последовательную ветвь от A к земле, параллельную R₂.

R3+R4 = 10+4 = 14 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 5·14/(5+14) = 3,684 Ω
VA = 6·3,684/(15+3,684) = 1,183 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 1,183·4/14 = 0,338 V
IR2′ = (VA − 0)/R2 = (1,183 − 0)/5 = 0,2366 A
R1​ = 15 ΩR3​ = 10 ΩКЗR2​5 ΩAR4​4 ΩBIs​5 A

Случай 2 · действует только Is

V₁ становится коротким замыканием, поэтому R₁ параллелен R₂. Iₛ в точке B делится между R₄ и путём через R₃.

R1 ∥ R2 = 15·5/(15+5) = 3,75 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 4 ∥ 13,75 = 3,099 Ω
VB = Is·Req = (−5)·3,099 = −15,49 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = −15,49·3,75/13,75 = −4,225 V
IR2″ = (VA − 0)/R2 = (−4,225 − 0)/5 = −0,8451 A

Сложите составляющие

IR2 = IR2′ + IR2″
IR2 = 0,2366 + (−0,8451) = −0,6085 A

Отрицательный результат означает, что на самом деле ток течёт против стрелки.

8.Метод наложения

Ответ: PR2 = 0,7901 W

Метод наложения: в линейной цепи любое напряжение или ток равно сумме откликов на каждый независимый источник, действующий отдельно. Чтобы отключить источник, замените идеальный источник напряжения коротким замыканием, а идеальный источник тока — разрывом. Резисторы остаются на месте.

R1​ = 30 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 4 Ω+−V1​30 VR3​15 ΩAОБРЫВBКЗ

Случай 1 · действует только V1

V₂ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. Со стороны A резистор R₃ параллелен последовательной паре R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 15 ∥ 8 = 5,217 Ω
VA = 30·5,217/(30+5,217) = 4,444 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 4,444·4/8 = 2,222 V
IR2′ = (VA − VB)/R2 = (4,444 − 2,222)/4 = 0,5556 A
R1​ = 30 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 4 ΩКЗR3​15 ΩAIs​1,5 ABКЗ

Случай 2 · действует только Is

Оба источника напряжения становятся короткими замыканиями. Iₛ в точке B делится между R₄ (теперь к земле) и R₂, последовательным с R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 10 Ω, поэтому левый путь — R2+10 = 14 Ω
Req = R4 ∥ 14 = 3,111 Ω
VB = Is·Req = 1,5·3,111 = 4,667 V
VA = VB·10/14 = 3,333 V
IR2″ = (VA − VB)/R2 = (3,333 − 4,667)/4 = −0,3333 A
R1​ = 30 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 4 ΩКЗR3​15 ΩAОБРЫВB+−V2​12 V

Случай 3 · действует только V2

V₁ становится коротким замыканием, а Iₛ — разрывом. R₁ ∥ R₃ отходит от A, последовательно с R₂ обратно к B.

R1 ∥ R3 = 30·15/(30+15) = 10 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 12·14/18 = 9,333 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 9,333·10/14 = 6,667 V
IR2‴ = (VA − VB)/R2 = (6,667 − 9,333)/4 = −0,6667 A

Складываем вклады токов

IR2 = IR2′ + IR2″ + IR2‴ = 0,5556 + (−0,3333) + (−0,6667) = −0,4444 A

Мощность в резисторе

Мощность зависит от квадрата тока, поэтому принцип наложения к ней неприменим: сначала сложите токи, затем возведите в квадрат.

PR2 = IR2²·R2 = (−0,4444)²·4 = 0,7901 W

Ответ

PR2 = 0,7901 W

Сложение мощностей отдельных случаев дало бы 3,457 W, что неверно.

9.Тевенин и Нортон

Ответ: IL = 0,3495 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 2 ΩR3​ = 5 ΩКЗR2​12 ΩAabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 2·12/(2+12) = 1,714 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,714 + 5 = 6,714 Ω
R1​ = 2 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​6 VR2​12 ΩAab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, через R₃ ток не течёт, поэтому падения на нём нет и V_b = V_A. R₁ и R₂ образуют делитель напряжения.

Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·12/(2+12) = 5,143 V
Rth​ = 6,714 Ω+−Vth​5,143 VRL​8 ΩIL​

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 5,143/(6,714 + 8) = 0,3495 A
10.Тевенин и Нортон

Ответ: IL = 1,161 A

Теорема Тевенина: любая линейная двухполюсная цепь ведёт себя как один источник напряжения Vth, последовательный с сопротивлением Rth. Теорема Нортона представляет ту же цепь как источник тока IN = Vth/Rth, параллельный Rth.

R1​ = 12 ΩR3​ = 10 ΩКЗR2​15 ΩAОБРЫВBabRth​

Найдите Rth со всеми отключёнными источниками

Замените источники напряжения короткими замыканиями, а источники тока — разрывами, затем посмотрите на цепь со стороны a–b.

R1 ∥ R2 = 12·15/(12+15) = 6,667 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6,667 + 10 = 16,67 Ω
R1​ = 12 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​24 VR2​15 ΩAIs​0,5 ABab+−Vth​

Найдите Vth — напряжение холостого хода

Когда a–b разомкнуты, Iₛ может течь только через R₃ в узел A. Найдите V_A наложением V₁ и Iₛ, затем прибавьте падение на R₃.

VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 13,33 + 0,5·6,667 = 16,67 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 16,67 + 0,5·10 = 21,67 V
Rth​ = 16,67 Ω+−Vth​21,67 VRL​2 ΩIL​

Подключите нагрузку к эквиваленту Тевенина

Источник Тевенина и последовательный R_th ведут себя на a–b точно как исходная цепь, поэтому нагрузка видит простой последовательный контур.

IL = Vth/(Rth + RL) = 21,67/(16,67 + 2) = 1,161 A
11.Схемы на операционных усилителях

Ответ: V− = 0,6364 V

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Напряжение на входах

Через R₃ и R₄ течёт один и тот же ток, поэтому они образуют делитель напряжения; обратная связь обеспечивает V₋ = V₊.

V₊ = V2·R4/(R3 + R4) = 0,7·47/(4,7 + 47) = 0,6364 V
V₋ = V₊

Ответ

V− = 0,6364 V
12.Схемы на операционных усилителях

Ответ: If = 1,01 mA

Правила идеального ОУ: при отрицательной обратной связи усилитель устанавливает выход так, чтобы оба входа имели одинаковое напряжение (V₋ = V₊), и ни в один вход ток не течёт. ЗТК на инвертирующем входе с этими двумя фактами даёт выход.

Входные токи

V₋ = 0, поэтому на каждом входном резисторе всё его входное напряжение.

I1 = V1/R1 = 1,1/10 = 0,11 mA
I2 = V2/R2 = 0,9/1 = 0,9 mA
If = I1 + I2 = 1,01 mA

Ответ

If = 1,01 mA
13.Переходные процессы RC и RL

Ответ: W(∞) = 0,2 mJ

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Постоянная времени и конечный ток

Спустя долгое время после замыкания катушка ведёт себя как короткое замыкание, поэтому конечный ток определяется только R.

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0,2 ms
i(∞) = Vs/R = 10/50 = 0,2 A

Запасённая энергия

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·10·0,2² = 0,2 mJ

Ответ

W(∞) = 0,2 mJ
14.Переходные процессы RC и RL

Ответ: vC = 15,22 V

Переходные процессы первого порядка: в цепи с одним конденсатором или одной катушкой каждое напряжение и каждый ток экспоненциально меняются от начального к конечному значению: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, где τ = RC или τ = L/R. Примерно через 5τ цепь выходит на установившийся режим.

Начальное значение, конечное значение, постоянная времени

Напряжение на конденсаторе не может измениться скачком, поэтому оно начинается с накопленного значения и стремится к напряжению источника.

vC(0) = 20 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 3,3 kΩ · 10 µF = 33 ms
vC(t) = 12 + (20 − 12)·e−t/τ

Напряжение в заданный момент

vC(30) = 12 + (8)·e−30/33 = 15,22 V

Ответ

vC = 15,22 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-1