Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

При монетах 1, 3 и 4 и сумме 6 сколько монет использует жадный метод «сначала самая крупная монета» по сравнению с оптимумом?

  1. AЖадный метод использует 3 монеты; оптимум — 2
  2. BЖадный метод использует 3 монеты; оптимум — 3
  3. CЖадный метод использует 2 монеты; оптимум — 2
  4. DЖадный метод использует 4 монеты; оптимум — 3
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое утверждение о выборе k-го наименьшего элемента неотсортированного массива верно?

  1. AВыбор всегда требует Ω(n log n), потому что нужна сортировка
  2. BQuickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае
  3. CQuickselect работает за O(log n) в худшем случае, потому что рекурсия идёт только в одну сторону от опорного элемента
  4. DВыбор возможен только за O(n²)
3.Структуры данныхСредняя

Сколько времени занимает поиск слова длины L в префиксном дереве (trie) с фиксированным алфавитом?

  1. AO(n), где n — число слов
  2. BO(L × n)
  3. CO(log n), где n — число слов
  4. DO(L), независимо от числа хранимых слов
4.Структуры данныхСложная

Какому правилу должны подчиняться хеш и равенство, чтобы хеш-таблица работала правильно?

  1. AИз равенства хешей следует равенство ключей
  2. BРавные ключи должны иметь равные значения хеша
  3. CРазные ключи должны иметь разные значения хеша
  4. DЗначения хеша должны быть простыми числами
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 14 вершин и 23 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 14|E| = 23
k =
6.Теория графовСложная
622541452ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Жадный метод использует 3 монеты; оптимум — 2

Почему это ответ

Жадный метод берёт 4 + 1 + 1 = 3 монеты, а 3 + 3 — лишь 2, поэтому для этой системы монет жадный метод не оптимален; динамическое программирование оптимально.

Ответ

A · Жадный метод использует 3 монеты; оптимум — 2
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Quickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае

Почему это ответ

Ожидаемая работа quickselect со случайными опорными элементами n + n/2 + n/4 + ... = O(n); выбор опорного элемента как медианы медиан делает худший случай линейным.

Ответ

B · Quickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае
3.Структуры данных

Ответ: D · O(L), независимо от числа хранимых слов

Почему это ответ

Каждый символ выбирает одного потомка, поэтому поиск занимает L шагов, сколько бы слов ни содержало дерево.

Ответ

D · O(L), независимо от числа хранимых слов
4.Структуры данных

Ответ: B · Равные ключи должны иметь равные значения хеша

Почему это ответ

Если бы два равных ключа хешировались по-разному, они хранились бы в разных корзинах и поиск не удавался бы; неравные ключи вполне могут иметь общий хеш.

Ответ

B · Равные ключи должны иметь равные значения хеша
5.Теория графов

Ответ: k = 10

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

14 − 1 = 13

Рёбра для удаления

k = 23 − 13 = 10

Ответ

k = 10
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 14

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 6, C: 2
C (2): B: 4, E: 6
B (4): D: 9
E (6)
D (9): F: 14
F (14)

Кратчайший путь

A → C → B → D → F
d(F) = 14

Ответ

d(F) = 14

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms