Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

В чём разница между неразрешимой и трудноразрешимой задачей?

  1. AТрудноразрешимые задачи нельзя решить никаким алгоритмом, а неразрешимым нужно лишь экспоненциальное время
  2. BОба термина означают, что у задачи вообще нет алгоритма
  3. CНеразрешимые задачи лежат в NP, а трудноразрешимые — в P
  4. DУ неразрешимой задачи нет алгоритма для всех входов; у трудноразрешимой он есть, но слишком медленный
3.Структуры данныхСредняя

Зачем нужен сторожевой (фиктивный, sentinel) узел в связном списке?

  1. AЧтобы хранить число элементов
  2. BЧтобы список не мог вырасти сверх фиксированного максимального числа узлов
  3. CЧтобы упростить код, убрав особые случаи в голове или хвосте
  4. DЧтобы список был отсортирован
4.Структуры данныхСложная

Почему из стандартного фильтра Блума нельзя просто удалить элементы, обнулив их биты?

  1. AФильтры Блума хранят элементы целиком, и их невозможно снова найти после хеширования
  2. BУдаление повысило бы долю ложноположительных результатов до 100%
  3. CЭти биты могут принадлежать и другим элементам, что вызвало бы ложноотрицательные результаты
  4. DБиты фильтра Блума нельзя менять после создания
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 15 вершин и 26 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 15|E| = 26
k =
6.Теория графовСложная
1248915441044ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(n)

Почему это ответ

Есть n уровней с постоянной работой на каждом, как при рекурсивном суммировании массива.

Ответ

A · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · У неразрешимой задачи нет алгоритма для всех входов; у трудноразрешимой он есть, но слишком медленный

Почему это ответ

У проблемы остановки вообще нет алгоритма; NP-трудную задачу, например TSP, можно решить перебором, только не за известное полиномиальное время.

Ответ

D · У неразрешимой задачи нет алгоритма для всех входов; у трудноразрешимой он есть, но слишком медленный
3.Структуры данных

Ответ: C · Чтобы упростить код, убрав особые случаи в голове или хвосте

Почему это ответ

Со сторожевым узлом у каждого реального узла есть предшественник, поэтому вставка или удаление в голове не требуют особой обработки.

Ответ

C · Чтобы упростить код, убрав особые случаи в голове или хвосте
4.Структуры данных

Ответ: C · Эти биты могут принадлежать и другим элементам, что вызвало бы ложноотрицательные результаты

Почему это ответ

Обнуление общего бита сделало бы другой элемент якобы отсутствующим; считающие фильтры Блума (counting Bloom filters) хранят счётчики вместо битов, чтобы разрешить удаление.

Ответ

C · Эти биты могут принадлежать и другим элементам, что вызвало бы ложноотрицательные результаты
5.Теория графов

Ответ: k = 12

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

15 − 1 = 14

Рёбра для удаления

k = 26 − 14 = 12

Ответ

k = 12
6.Теория графов

Ответ: d(F) = 24

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): C: 12
C (12): E: 20, G: 22
E (20): D: 29, F: 24
G (22): B: 26, D: 26
F (24)
B (26)
D (26)

Кратчайший путь

A → C → E → F
d(F) = 24

Ответ

d(F) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms