Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какое жадное правило в задаче о выборе заявок всегда даёт максимальное число непересекающихся заявок?

  1. AСначала выбрать заявку с наименьшим числом пересечений, затем повторить с совместимыми
  2. BВыбрать заявку, которая заканчивается раньше всех, затем повторить с совместимыми
  3. CСначала выбрать самую короткую заявку
  4. DВыбрать заявку, которая начинается раньше всех
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Алгоритм динамического программирования Хелда–Карпа точно решает задачу коммивояжёра. Каково время его работы для n городов?

  1. AO(2n²)
  2. BO(n³)
  3. CO(n!)
  4. DO(n² 2ⁿ)
3.Структуры данныхСредняя

У двоичного дерева корень 1 с левым потомком 2 и правым потомком 3; у узла 2 потомки 4 (левый) и 5 (правый). Каков обратный обход (postorder)?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B5 4 3 2 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 5 2 3 1
4.Структуры данныхСложная

Какому правилу должны подчиняться хеш и равенство, чтобы хеш-таблица работала правильно?

  1. AЗначения хеша должны быть простыми числами
  2. BРавные ключи должны иметь равные значения хеша
  3. CРазные ключи должны иметь разные значения хеша
  4. DИз равенства хешей следует равенство ключей
5.Теория графовСредняя
ABCDEFЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
2141651161993ABCDEFG

Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 6; пропущенные рёбра не считаются.

k = 6
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BD
  4. 4ребро CE
  5. 5ребро DE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро GB
  9. 9ребро GD
  10. 10ребро GE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Выбрать заявку, которая заканчивается раньше всех, затем повторить с совместимыми

Почему это ответ

Оптимальность выбора по самому раннему времени окончания доказывается аргументом обмена; для остальных правил есть контрпримеры.

Ответ

B · Выбрать заявку, которая заканчивается раньше всех, затем повторить с совместимыми
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(n² 2ⁿ)

Почему это ответ

Состояний около n 2ⁿ, и каждое вычисляется за O(n); это экспоненциально, но намного быстрее перебора всех (n − 1)! обходов.

Ответ

D · O(n² 2ⁿ)
3.Структуры данных

Ответ: D · 4 5 2 3 1

Почему это ответ

Обратный обход обрабатывает 4 и 5 до 2, затем 3 и наконец корень 1.

Ответ

D · 4 5 2 3 1
4.Структуры данных

Ответ: B · Равные ключи должны иметь равные значения хеша

Почему это ответ

Если бы два равных ключа хешировались по-разному, они хранились бы в разных корзинах и поиск не удавался бы; неравные ключи вполне могут иметь общий хеш.

Ответ

B · Равные ключи должны иметь равные значения хеша
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1

Нечётные вершины

B, C, E, F → 4
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: ребро EF

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

1. AC (1)
2. AB (2)
3. GE (3)
4. BD (4)
5. DE (5)
6. EF (6)

номер ребра 6

EF

Ответ

ребро EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms