Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Динамическое программирование полезно, когда у задачи есть:

  1. AВообще никаких подзадач, поэтому её можно решить за один шаг
  2. BПерекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
  3. CОдин цикл
  4. DТолько случайные входные данные
2.Алгоритмы и сложностьСложная

В чём разница между неразрешимой и трудноразрешимой задачей?

  1. AОба термина означают, что у задачи вообще нет алгоритма
  2. BТрудноразрешимые задачи нельзя решить никаким алгоритмом, а неразрешимым нужно лишь экспоненциальное время
  3. CНеразрешимые задачи лежат в NP, а трудноразрешимые — в P
  4. DУ неразрешимой задачи нет алгоритма для всех входов; у трудноразрешимой он есть, но слишком медленный
3.Структуры данныхСредняя

Приложению нужен быстрый поиск, а также вывод ключей в отсортированном порядке и запросы по диапазону. Какая структура подходит лучше всего?

  1. AСбалансированное двоичное дерево поиска
  2. BНеотсортированный связный список
  3. CСтек
  4. DХеш-таблица
4.Структуры данныхСложная

Сколько времени занимает поиск произвольного ключа в двоичной min-куче из n элементов?

  1. AO(n)
  2. BO(log log n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K4? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K4
H =
6.Теория графовСложная
1636291121519ABCDEFG

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура

Почему это ответ

Сохранение результатов перекрывающихся подзадач (мемоизация или табуляция) позволяет избежать повторной работы и превращает экспоненциальные алгоритмы в полиномиальные.

Ответ

B · Перекрывающиеся подзадачи и оптимальная подструктура
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · У неразрешимой задачи нет алгоритма для всех входов; у трудноразрешимой он есть, но слишком медленный

Почему это ответ

У проблемы остановки вообще нет алгоритма; NP-трудную задачу, например TSP, можно решить перебором, только не за известное полиномиальное время.

Ответ

D · У неразрешимой задачи нет алгоритма для всех входов; у трудноразрешимой он есть, но слишком медленный
3.Структуры данных

Ответ: A · Сбалансированное двоичное дерево поиска

Почему это ответ

Сбалансированное BST даёт поиск за O(log n) и хранит ключи упорядоченными, поэтому симметричный обход и запросы по диапазону просты; хеш-таблица разбрасывает ключи.

Ответ

A · Сбалансированное двоичное дерево поиска
4.Структуры данных

Ответ: A · O(n)

Почему это ответ

Куча не даёт правила, в каком поддереве находится ключ, поэтому в худшем случае нужно проверить все узлы; быстро находится только минимум.

Ответ

A · O(n)
5.Теория графов

Ответ: H = 3

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Ответ

H = 3
6.Теория графов

Ответ: W = 40

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

EF (1): берём
CE (2): берём
BC (3): берём
BD (6): берём
DE (9): пропускаем, замыкает цикл
GB (12): берём
GC (15): пропускаем, замыкает цикл
AC (16): берём

Суммарный вес

W = 1 + 2 + 3 + 6 + 12 + 16 = 40

Ответ

W = 40

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms