Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Временная сложность наивного рекурсивного вычисления чисел Фибоначчи (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) является:

  1. AЛинейной
  2. BЭкспоненциальной
  3. CЛогарифмической
  4. DКонстантной
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Почему алгоритм Дейкстры может давать неверные результаты, если некоторые веса рёбер отрицательны?

  1. AОтрицательные числа нельзя хранить в очереди с приоритетом
  2. BОн работает только на неориентированных графах
  3. CНа каждом отрицательном ребре он зацикливается
  4. DВершина фиксируется при извлечении, но позже отрицательное ребро ещё может дать ей более короткий путь
3.Структуры данныхСредняя

У двоичного дерева корень 1 с левым потомком 2 и правым потомком 3; у узла 2 потомки 4 (левый) и 5 (правый). Каков обратный обход (postorder)?

  1. A4 5 2 3 1
  2. B1 2 4 5 3
  3. C5 4 3 2 1
  4. D4 2 5 1 3
4.Структуры данныхСложная

Нужно хранить k наименьших значений из потока n чисел, используя O(k) памяти. Какой подход работает за время O(n log k)?

  1. AОчередь FIFO последних k значений
  2. BОтсортированный массив всех n значений
  3. CMax-куча размера k, корень которой заменяется, когда приходит меньшее значение
  4. DMin-куча, хранящая все n значений, из которой в конце извлекаются k наименьших
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 3, 2 вершин степени 4, 3 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 32 × deg 43 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
8752121613203109ABCDEFG

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Экспоненциальной

Почему это ответ

Дерево вызовов растёт примерно как φⁿ (около 1,618ⁿ). Мемоизация снижает сложность до O(n).

Ответ

B · Экспоненциальной
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Вершина фиксируется при извлечении, но позже отрицательное ребро ещё может дать ей более короткий путь

Почему это ответ

Жадный шаг опирается на неотрицательные веса, чтобы извлечённые расстояния были окончательными; когда веса могут быть отрицательными, применяют Беллмана–Форда.

Ответ

D · Вершина фиксируется при извлечении, но позже отрицательное ребро ещё может дать ей более короткий путь
3.Структуры данных

Ответ: A · 4 5 2 3 1

Почему это ответ

Обратный обход обрабатывает 4 и 5 до 2, затем 3 и наконец корень 1.

Ответ

A · 4 5 2 3 1
4.Структуры данных

Ответ: C · Max-куча размера k, корень которой заменяется, когда приходит меньшее значение

Почему это ответ

Корень max-кучи — наибольшее из хранимых значений; любое меньшее новое значение заменяет его за O(log k), поэтому куча всегда содержит k наименьших значений на данный момент.

Ответ

C · Max-куча размера k, корень которой заменяется, когда приходит меньшее значение
5.Теория графов

Ответ: L = 10

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 26 = 2(L + 9) − 2
L = 10

Ответ

L = 10

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: W = 39

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

BD (2): берём
GB (3): берём
BC (5): берём
AC (7): берём
AB (8): пропускаем, замыкает цикл
GE (9): берём
GD (10): пропускаем, замыкает цикл
CE (12): пропускаем, замыкает цикл
DF (13): берём

Суммарный вес

W = 2 + 3 + 5 + 7 + 9 + 13 = 39

Ответ

W = 39

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms