Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Жадный алгоритм:

  1. AИспользует только рекурсию
  2. BНа каждом шаге делает локально наилучший выбор
  3. CПеребирает все возможные решения
  4. DВсегда даёт оптимальное решение
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое утверждение о P и NP верно?

  1. AДоказано, что P ≠ NP
  2. BNP означает «неполиномиальный» (not polynomial)
  3. CРешения задач NP невозможно быстро проверить
  4. DКаждая задача из P также принадлежит NP
3.Структуры данныхСредняя

Какой абстрактный тип данных использует алгоритм Дейкстры для выбора следующей обрабатываемой вершины?

  1. AОчередь с приоритетом по минимуму
  2. BМножество без упорядочения
  3. CОчередь FIFO
  4. DСтек
4.Структуры данныхСложная

Зачем серверу выбирать хеш-функцию случайно из универсального семейства?

  1. AЧтобы хеш-таблица была отсортирована
  2. BЧтобы сделать крайне маловероятным, что атакующий подберёт много ключей с одинаковым хешем
  3. CЧтобы гарантировать, что никакие два ключа никогда не столкнутся, какие бы ключи ни присылал атакующий
  4. DЧтобы не нужно было увеличивать таблицу
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K8? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K8
H =
6.Теория графовСложная
712715581411ABCDEF

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 4; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · На каждом шаге делает локально наилучший выбор

Почему это ответ

Жадные алгоритмы быстры и для некоторых задач оптимальны (например, алгоритм Дейкстры, кодирование Хаффмана), но не в общем случае (например, задача о размене монет для некоторых систем монет).

Ответ

B · На каждом шаге делает локально наилучший выбор
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Каждая задача из P также принадлежит NP

Почему это ответ

P ⊆ NP: если Вы можете быстро решить задачу, то можете и быстро проверить решение. Вопрос о том, верно ли P = NP, по-прежнему открыт.

Ответ

D · Каждая задача из P также принадлежит NP
3.Структуры данных

Ответ: A · Очередь с приоритетом по минимуму

Почему это ответ

Очередь с приоритетом по минимуму, обычно двоичная куча, эффективно возвращает непосещённую вершину с наименьшим расстоянием.

Ответ

A · Очередь с приоритетом по минимуму
4.Структуры данных

Ответ: B · Чтобы сделать крайне маловероятным, что атакующий подберёт много ключей с одинаковым хешем

Почему это ответ

При универсальном хешировании ожидаемое число коллизий мало для любого множества ключей, поскольку атакующий не знает, какая функция выбрана.

Ответ

B · Чтобы сделать крайне маловероятным, что атакующий подберёт много ключей с одинаковым хешем
5.Теория графов

Ответ: H = 2520

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Ответ

H = 2520
6.Теория графов

Ответ: E

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 7, C: 12
2. B (7): D: 22, E: 18
3. C (12): E: 17
4. E (17)
5. D (22): F: 36
6. F (36)

шаг 4

E

Ответ

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms