Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Как алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево?

  1. AОн сортирует все рёбра по весу и добавляет каждое, если оно не образует цикл в лесу
  2. BОн удаляет самое дорогое ребро, пока не исчезнут циклы
  3. CОн выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева
  4. DОн запускает поиск в ширину и сохраняет дерево BFS
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какие две вещи нужно показать, чтобы доказать NP-полноту задачи распознавания X?

  1. AX лежит в P, и X сводится к SAT
  2. BУ X нет полиномиального алгоритма, и X разрешима
  3. CX сводится к задаче из P, и X лежит в NP
  4. DX лежит в NP, и известная NP-полная задача сводится к X за полиномиальное время
3.Структуры данныхСредняя

АВЛ-деревья (AVL) и красно-чёрные деревья гарантируют:

  1. AВысоту O(log n) благодаря перебалансировке
  2. BХранение ключей в порядке вставки
  3. CЧто ни у одного узла нет двух потомков
  4. DПоиск за константное время в любом случае
4.Структуры данныхСложная

Структура union-find (система непересекающихся множеств) с объединением по рангу и сжатием путей имеет амортизированную стоимость операции:

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CРовно O(log n)
  4. DO(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа
5.Теория графовСредняя
ABCDEFЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
ABCDE

Сколько существует замкнутых маршрутов длины 3, начинающихся и заканчивающихся в C? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 3
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Он выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева

Почему это ответ

Алгоритм Прима с очередью с приоритетом пересекающих рёбер работает за O(E log V) при использовании двоичной кучи.

Ответ

C · Он выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · X лежит в NP, и известная NP-полная задача сводится к X за полиномиальное время

Почему это ответ

Принадлежность к NP показывает, что X не сложнее NP; сведение известной NP-полной задачи показывает, что X не легче всего класса NP.

Ответ

D · X лежит в NP, и известная NP-полная задача сводится к X за полиномиальное время
3.Структуры данных

Ответ: A · Высоту O(log n) благодаря перебалансировке

Почему это ответ

Самобалансирующиеся деревья сохраняют логарифмическую высоту, поэтому поиск, вставка и удаление в худшем случае выполняются за O(log n).

Ответ

A · Высоту O(log n) благодаря перебалансировке
4.Структуры данных

Ответ: D · O(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа

Почему это ответ

С обеими оптимизациями операции выполняются за амортизированное время O(α(n)); α(n) ≤ 4 для любого реалистичного n.

Ответ

D · O(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Нечётные вершины

A, B, C, D → 4
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: N = 4

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 0
E: 0 1 1 0 0

Ещё один шаг

(M³)CC = 1·1 + 2·1 + 3·0 + 1·0 + 1·1 = 4

Ответ

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms