Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково время работы поразрядной сортировки LSD для n целых чисел из d цифр в системе счисления с основанием k?

  1. AO(n log n)
  2. BO(dn log k)
  3. CO(d(n + k))
  4. DO(n²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Кратчайшие простые пути можно найти за полиномиальное время. Что известно о поиске самого длинного простого пути между двумя вершинами в произвольном графе?

  1. AЭто NP-трудная задача
  2. BОна всегда решается за O(V + E)
  3. CОна неразрешима
  4. DЕё можно решить алгоритмом Дейкстры с отрицательными весами
3.Структуры данныхСредняя

Почему двоичную кучу можно хранить в массиве без каких-либо указателей?

  1. AЭто полное двоичное дерево, поэтому позиции подчиняются простым формулам индексов
  2. BМассивы автоматически хранят ключи в отсортированном порядке, поэтому указатели не нужны
  3. CВсе ключи в куче равны
  4. DВ кучах никогда не бывает больше 100 элементов
4.Структуры данныхСложная

Чем radix-дерево (сжатое префиксное дерево) лучше обычного trie?

  1. AОно хранит каждое слово в хеш-таблице в корне вместо отдельных узлов
  2. BОно сортирует потомков каждого узла по частоте
  3. CОно сливает цепочки узлов с одним потомком в одно ребро, помеченное строкой
  4. DОно хранит только первую букву каждого слова
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
21411859713ABCDEF

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 4; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(d(n + k))

Почему это ответ

Каждый из d проходов — сортировка подсчётом стоимостью O(n + k), поэтому при фиксированных d и k итог линеен по n.

Ответ

C · O(d(n + k))
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Это NP-трудная задача

Почему это ответ

Самый длинный простой путь длины V − 1 — гамильтонов путь, а это NP-полная задача; однако на ориентированных ациклических графах она решается за линейное время.

Ответ

A · Это NP-трудная задача
3.Структуры данных

Ответ: A · Это полное двоичное дерево, поэтому позиции подчиняются простым формулам индексов

Почему это ответ

Полнота означает отсутствие пропусков, поэтому потомки индекса i всегда находятся в 2i + 1 и 2i + 2.

Ответ

A · Это полное двоичное дерево, поэтому позиции подчиняются простым формулам индексов
4.Структуры данных

Ответ: C · Оно сливает цепочки узлов с одним потомком в одно ребро, помеченное строкой

Почему это ответ

Сжатие путей без ветвлений уменьшает число узлов и расход памяти, сохраняя поиск по префиксу.

Ответ

C · Оно сливает цепочки узлов с одним потомком в одно ребро, помеченное строкой
5.Теория графов

Ответ: ни то, ни другое

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 4

Нечётные вершины

A, D, E, F → 4
ни то, ни другое

Ответ

ни то, ни другое
6.Теория графов

Ответ: C

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 2, C: 14
2. B (2): C: 13, D: 10, E: 15
3. D (10)
4. C (13)
5. E (15): F: 22
6. F (22)

шаг 4

C

Ответ

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms