Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Как алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево?

  1. AОн удаляет самое дорогое ребро, пока не исчезнут циклы
  2. BОн выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева
  3. CОн запускает поиск в ширину и сохраняет дерево BFS
  4. DОн сортирует все рёбра по весу и добавляет каждое, если оно не образует цикл в лесу
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Каковы затраты времени и памяти при вычислении n-го числа Фибоначчи циклом, хранящим только два последних значения?

  1. AO(n) времени и O(1) памяти
  2. BO(n) времени и O(n) памяти
  3. CO(2ⁿ) времени и O(1) памяти
  4. DO(log n) времени и O(n) памяти
3.Структуры данныхСредняя

Ключи 50, 30, 70, 20, 40 вставляются в таком порядке в пустое двоичное дерево поиска. Кто левый потомок 30?

  1. A40
  2. B20
  3. C70
  4. D50
4.Структуры данныхСложная

Почему базы данных часто используют для индексов B+ деревья, а не обычные B-деревья?

  1. AВсе записи находятся в связанных листьях, что делает сканирование диапазонов эффективным
  2. BB+ деревья используют двоичные внутренние узлы, что сокращает число чтений с диска
  3. CB+ деревья хранят данные только в корне
  4. DB+ деревья не нужно балансировать
5.Теория графовСредняя
ABCDEЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
12106153199ABCDE

Алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево, начиная с вершины E. Нажмите на ребро, которое он добавляет под номером 3.

начало: Ek = 3
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Он выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева

Почему это ответ

Алгоритм Прима с очередью с приоритетом пересекающих рёбер работает за O(E log V) при использовании двоичной кучи.

Ответ

B · Он выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(n) времени и O(1) памяти

Почему это ответ

Каждому шагу нужны лишь два предыдущих значения, поэтому таблицу восходящего метода можно заменить двумя переменными.

Ответ

A · O(n) времени и O(1) памяти
3.Структуры данных

Ответ: B · 20

Почему это ответ

20 меньше 50 и меньше 30, поэтому становится левым потомком 30; 40 становится его правым потомком.

Ответ

B · 20
4.Структуры данных

Ответ: A · Все записи находятся в связанных листьях, что делает сканирование диапазонов эффективным

Почему это ответ

В B+ дереве внутренние узлы только направляют поиск, а листья связаны в порядке ключей, поэтому запрос по диапазону находит первый ключ и затем идёт по листьям.

Ответ

A · Все записи находятся в связанных листьях, что делает сканирование диапазонов эффективным
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: ребро AC

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Прима

1. CE (3)
2. BC (6)
3. AC (10)
4. BD (15)

номер ребра 3

AC

Ответ

ребро AC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms