Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Как алгоритм Прима строит минимальное остовное дерево?

  1. AОн выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева
  2. BОн сортирует все рёбра по весу и добавляет каждое, если оно не образует цикл в лесу
  3. CОн запускает поиск в ширину и сохраняет дерево BFS
  4. DОн удаляет самое дорогое ребро, пока не исчезнут циклы
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Задача о рюкзаке 0/1, решаемая динамическим программированием, требует O(nW) времени. Почему это называют псевдополиномиальным временем?

  1. AПотому что он работает только при W = 0
  2. BПотому что n всегда мало
  3. CW — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W
  4. DПотому что алгоритм рандомизированный, и время его работы меняется для каждого входа
3.Структуры данныхСредняя

Какую структуру данных использует поиск в глубину (DFS, итеративная версия)?

  1. AОчередь
  2. BСтек
  3. CКучу
  4. DТолько хеш-таблицу
4.Структуры данныхСложная

Какие операции поддерживает за O(log n) дерево Фенвика (binary indexed tree) над массивом из n чисел?

  1. AСортировку массива и двоичный поиск
  2. BЗапросы префиксных сумм и обновления отдельного элемента
  3. CПоиск медианы за O(1)
  4. DВставку элементов в любую позицию
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 6 вершин и 17 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 6|E| = 17
k =
6.Теория графовСложная
17141311668911ABCDEF

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Он выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева

Почему это ответ

Алгоритм Прима с очередью с приоритетом пересекающих рёбер работает за O(E log V) при использовании двоичной кучи.

Ответ

A · Он выращивает одно дерево от начальной вершины, добавляя самое дешёвое ребро, выходящее из дерева
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · W — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W

Почему это ответ

Время работы полиномиально относительно значения W, но экспоненциально относительно его длины (log W битов); задача о рюкзаке 0/1 является NP-полной.

Ответ

C · W — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W
3.Структуры данных

Ответ: B · Стек

Почему это ответ

DFS углубляется как можно дальше, естественно используя стек (или стек вызовов рекурсии); BFS использует очередь.

Ответ

B · Стек
4.Структуры данных

Ответ: B · Запросы префиксных сумм и обновления отдельного элемента

Почему это ответ

Дерево Фенвика хранит частичные суммы по диапазонам, определяемым младшими битами каждого индекса, поэтому и префиксные суммы, и точечные обновления занимают O(log n).

Ответ

B · Запросы префиксных сумм и обновления отдельного элемента
5.Теория графов

Ответ: k = 12

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

6 − 1 = 5

Рёбра для удаления

k = 17 − 5 = 12

Ответ

k = 12
6.Теория графов

Ответ: W = 42

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

BD (1): берём
DE (6): берём
DF (8): берём
EF (9): пропускаем, замыкает цикл
BE (11): пропускаем, замыкает цикл
BC (13): берём
AC (14): берём

Суммарный вес

W = 1 + 6 + 8 + 13 + 14 = 42

Ответ

W = 42

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms