Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какова временна́я сложность: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое определение класса NP верно?

  1. AЗадачи распознавания, положительные ответы которых можно проверить за полиномиальное время при наличии сертификата
  2. BЗадачи, которые не являются полиномиальными
  3. CЗадачи, которые нельзя решить за полиномиальное время
  4. DЗадачи, которые не может решить ни один алгоритм
3.Структуры данныхСредняя

Какова временная сложность поиска ключа в сбалансированном двоичном дереве поиска?

  1. AO(1)
  2. BO(log n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
4.Структуры данныхСложная

В чём главное преимущество списка с пропусками (skip list) перед отсортированным связным списком?

  1. AОн не использует дополнительной памяти
  2. BГарантированный поиск за O(1), потому что каждый узел хранит указатель на каждый другой узел
  3. CОжидаемый поиск за O(log n) благодаря нескольким уровням указателей вперёд
  4. DОн хранит ключи без упорядочения
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 11
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
21782949ABCDEF

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 3; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · O(n log n)

Почему это ответ

Внутренний цикл выполняется около log₂ n раз для каждой из n внешних итераций, что даёт O(n log n).

Ответ

B · O(n log n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Задачи распознавания, положительные ответы которых можно проверить за полиномиальное время при наличии сертификата

Почему это ответ

Для задачи из NP предложенное решение (сертификат) можно быстро проверить, например убедиться, что данное присваивание выполняет булеву формулу.

Ответ

A · Задачи распознавания, положительные ответы которых можно проверить за полиномиальное время при наличии сертификата
3.Структуры данных

Ответ: B · O(log n)

Почему это ответ

Сбалансированное дерево имеет высоту около log₂ n, поэтому поиск проходит по одному пути от корня до листа.

Ответ

B · O(log n)
4.Структуры данных

Ответ: C · Ожидаемый поиск за O(log n) благодаря нескольким уровням указателей вперёд

Почему это ответ

Случайные уровни позволяют поиску пропускать много узлов, что даёт ожидаемую сложность O(log n) для поиска, вставки и удаления.

Ответ

C · Ожидаемый поиск за O(log n) благодаря нескольким уровням указателей вперёд
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров путь, не цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Нечётные вершины

A, B → 2
Эйлеров путь, не цикл

Ответ

Эйлеров путь, не цикл

Эйлеров путь начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.

6.Теория графов

Ответ: B

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 2, C: 1
2. C (1): E: 3
3. B (2): D: 10
4. E (3): F: 7
5. F (7)
6. D (10)

шаг 3

B

Ответ

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms