Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях: Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярный граф: |E| = n·k/2
Дерево и лес: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер: цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в K_n: (n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L: (Mᴸ)_ij

Метод

Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = T(n − 1) + O(n)?

AO(n log n)
BO(2ⁿ)
CO(n²)
DO(n)

2.Алгоритмы и сложностьСложная

Принадлежит ли 2²ⁿ классу O(2ⁿ)?

AНет, потому что 2²ⁿ растёт медленнее 2ⁿ
BНет, потому что 2²ⁿ = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно
CДа, потому что обе функции экспоненциальны
DДа, потому что постоянные множители в показателе в O большом всегда игнорируются

3.Структуры данныхСредняя

Какой метод разрешения коллизий хранит конфликтующие ключи в списке в той же корзине?

AМетод цепочек (separate chaining)
BКвадратичное пробирование
CДвойное хеширование
DЛинейное пробирование

4.Структуры данныхСложная

Сколько времени занимает поиск произвольного ключа в двоичной min-куче из n элементов?

AO(n)
BO(log log n)
CO(1)
DO(log n)

5.Теория графовСредняя

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 5

1Эйлеров цикл
2Эйлеров путь, не цикл
3ни то, ни другое

6.Теория графовСложная

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F

d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · O(n²)

Почему это ответ

Работа в сумме составляет около n² / 2; это рекуррентное соотношение сортировки выбором или быстрой сортировки с худшим опорным элементом.

Ответ

C · O(n²)

2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Нет, потому что 2²ⁿ = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно

Почему это ответ

Константа, прибавленная к показателю, даёт постоянный множитель, а константа, умножающая показатель, меняет основание и скорость роста.

Ответ

B · Нет, потому что 2²ⁿ = 4ⁿ, а 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ растёт неограниченно

3.Структуры данных

Ответ: A · Метод цепочек (separate chaining)

Почему это ответ

Метод цепочек хранит для каждой корзины связный список (или другую структуру); открытая адресация ищет другую свободную ячейку в самой таблице.

Ответ

A · Метод цепочек (separate chaining)

4.Структуры данных

Ответ: A · O(n)

Почему это ответ

Куча не даёт правила, в каком поддереве находится ключ, поэтому в худшем случае нужно проверить все узлы; быстро находится только минимум.

Ответ

A · O(n)

5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в K_n их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Нечётные вершины

Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл

6.Теория графов

Ответ: d(F) = 26

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 15, C: 4

C (4)

B (15): D: 26, G: 18

G (18): E: 24

E (24): F: 26

D (26)

F (26)

Кратчайший путь

A → B → G → E → F

d(F) = 26

Ответ

d(F) = 26

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms