Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Для какого варианта задачи о рюкзаке жадное правило «брать предметы в порядке ценности на единицу веса» всегда даёт оптимальный ответ?

  1. AДля рюкзака 0/1, где предметы всегда нужно брать целиком
  2. BДля обоих вариантов
  3. CДля непрерывного (дробного) рюкзака, где предметы можно делить
  4. DНи для одного варианта
3.Структуры данныхСредняя

Какой метод разрешения коллизий хранит конфликтующие ключи в списке в той же корзине?

  1. AМетод цепочек (separate chaining)
  2. BКвадратичное пробирование
  3. CДвойное хеширование
  4. DЛинейное пробирование
4.Структуры данныхСложная

Какую проблему линейного пробирования в основном уменьшает двойное хеширование?

  1. AНеобходимость в хеш-функции
  2. BНеобходимость хранить ключи в таблице
  3. CСтоимость O(n) чтения значения по ключу
  4. DПервичную кластеризацию, при которой образуются длинные серии занятых ячеек
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 4, 2 вершин степени 5, 4 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 42 × deg 54 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
1142124851082ABCDEFG

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 3; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(2ⁿ)

Почему это ответ

Число вызовов удваивается на каждом уровне, а уровней n, поэтому итого около 2ⁿ, как в задаче о Ханойских башнях.

Ответ

A · O(2ⁿ)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Для непрерывного (дробного) рюкзака, где предметы можно делить

Почему это ответ

Когда предметы можно делить, выбор по лучшему отношению оптимален; в рюкзаке 0/1 предмет с высоким отношением может помешать лучшей комбинации, поэтому нужно динамическое программирование.

Ответ

C · Для непрерывного (дробного) рюкзака, где предметы можно делить
3.Структуры данных

Ответ: A · Метод цепочек (separate chaining)

Почему это ответ

Метод цепочек хранит для каждой корзины связный список (или другую структуру); открытая адресация ищет другую свободную ячейку в самой таблице.

Ответ

A · Метод цепочек (separate chaining)
4.Структуры данных

Ответ: D · Первичную кластеризацию, при которой образуются длинные серии занятых ячеек

Почему это ответ

Линейное пробирование делает шаг 1, поэтому серии занятых ячеек растут и сливаются; двойное хеширование использует второй хеш для размера шага, так что разные ключи проходят разные последовательности.

Ответ

D · Первичную кластеризацию, при которой образуются длинные серии занятых ячеек
5.Теория графов

Ответ: L = 16

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 34 = 2(L + 10) − 2
L = 16

Ответ

L = 16

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: B

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): B: 11, C: 4
2. C (4): B: 6, E: 16, G: 14
3. B (6): G: 11
4. G (11): D: 19, E: 13
5. E (13): D: 17
6. D (17): F: 25
7. F (25)

шаг 3

B

Ответ

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms