Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Сколько памяти стека использует простая рекурсивная функция факториала fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какое утверждение о выборе k-го наименьшего элемента неотсортированного массива верно?

  1. AQuickselect работает за O(log n) в худшем случае, потому что рекурсия идёт только в одну сторону от опорного элемента
  2. BВыбор всегда требует Ω(n log n), потому что нужна сортировка
  3. CQuickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае
  4. DВыбор возможен только за O(n²)
3.Структуры данныхСредняя

Где в двоичной куче, хранящейся в массиве с индексацией от 0, находится родитель узла с индексом i?

  1. AВ индексе ⌊i / 2⌋ + 1
  2. BВ индексе i − 1
  3. CВ индексе ⌊(i − 1) / 2⌋
  4. DВ индексе 2i + 1
4.Структуры данныхСложная

Почему из стандартного фильтра Блума нельзя просто удалить элементы, обнулив их биты?

  1. AЭти биты могут принадлежать и другим элементам, что вызвало бы ложноотрицательные результаты
  2. BФильтры Блума хранят элементы целиком, и их невозможно снова найти после хеширования
  3. CУдаление повысило бы долю ложноположительных результатов до 100%
  4. DБиты фильтра Блума нельзя менять после создания
5.Теория графовСредняя
ABCDEЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
21061310111115ABCDEF

Алгоритм Дейкстры запускается из A. Нажмите на вершину, которая фиксируется (становится постоянной) на шаге 3; сама A фиксируется на шаге 1.

начало: Aшаг 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(n)

Почему это ответ

Глубина рекурсии — n вызовов до первого возврата, и каждому вызову нужен кадр стека, поэтому используется O(n) памяти.

Ответ

D · O(n)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Quickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае

Почему это ответ

Ожидаемая работа quickselect со случайными опорными элементами n + n/2 + n/4 + ... = O(n); выбор опорного элемента как медианы медиан делает худший случай линейным.

Ответ

C · Quickselect работает в среднем за O(n), а метод медианы медиан гарантирует O(n) в худшем случае
3.Структуры данных

Ответ: C · В индексе ⌊(i − 1) / 2⌋

Почему это ответ

Потомки i находятся в 2i + 1 и 2i + 2, поэтому родитель i — в ⌊(i − 1) / 2⌋; при индексации с 1 это ⌊i / 2⌋.

Ответ

C · В индексе ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Структуры данных

Ответ: A · Эти биты могут принадлежать и другим элементам, что вызвало бы ложноотрицательные результаты

Почему это ответ

Обнуление общего бита сделало бы другой элемент якобы отсутствующим; считающие фильтры Блума (counting Bloom filters) хранят счётчики вместо битов, чтобы разрешить удаление.

Ответ

A · Эти биты могут принадлежать и другим элементам, что вызвало бы ложноотрицательные результаты
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров путь, не цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Нечётные вершины

A, C → 2
Эйлеров путь, не цикл

Ответ

Эйлеров путь, не цикл

Эйлеров путь начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.

6.Теория графов

Ответ: B

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

1. A (0): C: 2
2. C (2): B: 12, E: 15
3. B (12): D: 18
4. E (15): F: 26
5. D (18)
6. F (26)

шаг 3

B

Ответ

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms