Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Примерно сколько сравнений нужно бинарному поиску в худшем случае на отсортированном массиве из 1,000,000 элементов?

  1. AОколо 20
  2. BОколо 500,000
  3. CОколо 100
  4. DОколо 1,000
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n)
  4. DΘ(n log² n)
3.Структуры данныхСредняя

Хеш-таблица размера 7 использует h(k) = k mod 7 и линейное пробирование. Где окажется 17 после вставки 10?

  1. AВ индексе 4
  2. BВ индексе 0
  3. CВ индексе 6
  4. DВ индексе 3
4.Структуры данныхСложная

Почему B-деревья используются в базах данных и файловых системах?

  1. AОни хранят неотсортированные данные
  2. BИм не нужна перебалансировка
  3. CОни занимают меньше памяти, чем любой массив, поэтому весь индекс всегда помещается в оперативной памяти
  4. DВысокая степень ветвления делает дерево неглубоким и сокращает число медленных чтений с диска
5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 9 вершин и 18 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 9|E| = 18
k =
6.Теория графовСложная
119981017141812ABCDEF

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Около 20

Почему это ответ

220 ≈ 1,048,576, поэтому примерно после 20 делений пополам остаётся один элемент.

Ответ

A · Около 20
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · Θ(n log² n)

Почему это ответ

Уровень k выполняет около n log(n / 2ᵏ) работы, и суммирование по log n уровням даёт Θ(n log² n) — расширенный второй случай основной теоремы.

Ответ

D · Θ(n log² n)
3.Структуры данных

Ответ: A · В индексе 4

Почему это ответ

10 mod 7 = 3 и 17 mod 7 = 3; индекс 3 занят, поэтому линейное пробирование пробует следующую ячейку — индекс 4.

Ответ

A · В индексе 4
4.Структуры данных

Ответ: D · Высокая степень ветвления делает дерево неглубоким и сокращает число медленных чтений с диска

Почему это ответ

B-деревья хранят много ключей в узле, поэтому высота мала и на один поиск нужно мало чтений блоков; B+ деревья также связывают листья для сканирования диапазонов.

Ответ

D · Высокая степень ветвления делает дерево неглубоким и сокращает число медленных чтений с диска
5.Теория графов

Ответ: k = 10

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

9 − 1 = 8

Рёбра для удаления

k = 18 − 8 = 10

Ответ

k = 10
6.Теория графов

Ответ: W = 42

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

AB (1): берём
BD (8): берём
BC (9): берём
CE (10): берём
BE (12): пропускаем, замыкает цикл
DF (14): берём

Суммарный вес

W = 1 + 8 + 9 + 10 + 14 = 42

Ответ

W = 42

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms