Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Что вычисляет алгоритм Флойда–Уоршелла и как быстро?

  1. AМинимальное остовное дерево за O(E log V)
  2. BКратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)
  3. CКратчайшие пути из одной исходной вершины до всех остальных за O(V + E)
  4. DТопологический порядок за O(V²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Алгоритм Штрассена умножает матрицы, используя 7 вместо 8 рекурсивных умножений блоков половинного размера. Каково время его работы?

  1. AΘ(nlog₂ 7), примерно n2,81
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n2)
  4. DΘ(n² log n)
3.Структуры данныхСредняя

Какую структуру данных использует выполняющаяся программа для отслеживания активных вызовов функций и их локальных переменных?

  1. AХеш-таблицу функций
  2. BДвоичное дерево поиска кадров
  3. CСтек вызовов
  4. DОчередь памяти кучи
4.Структуры данныхСложная

Вставка ключа в АВЛ-дерево делает левое поддерево узла слишком высоким, причём новый ключ попал в левое поддерево его левого потомка (случай левый–левый). Какое исправление применяется?

  1. AЛевый поворот в потомке, затем правый поворот в узле
  2. BПерекрашивание узла и его потомка
  3. CОдиночный правый поворот в несбалансированном узле
  4. DОдиночный левый поворот в несбалансированном узле
5.Теория графовСредняя
ABCDEFGЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
1312781044151114ABCDEFG

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F
d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Кратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)

Почему это ответ

Флойд–Уоршелл — алгоритм динамического программирования, который по очереди допускает каждую вершину как промежуточную точку и использует время O(V³).

Ответ

B · Кратчайшие пути между всеми парами вершин за O(V³)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Θ(nlog₂ 7), примерно n2,81

Почему это ответ

При a = 7 и b = 2 член nlog₂ 7 доминирует над работой сложения O(n²), что даёт примерно n2,81.

Ответ

A · Θ(nlog₂ 7), примерно n2,81
3.Структуры данных

Ответ: C · Стек вызовов

Почему это ответ

Каждый вызов помещает в стек кадр (push), а каждый возврат его извлекает (pop), поэтому самый последний вызов завершается первым.

Ответ

C · Стек вызовов
4.Структуры данных

Ответ: C · Одиночный правый поворот в несбалансированном узле

Почему это ответ

В случае левый–левый один правый поворот поднимает левого потомка вверх и восстанавливает баланс; случаи зигзага требуют двойного поворота.

Ответ

C · Одиночный правый поворот в несбалансированном узле
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров путь, не цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Нечётные вершины

C, G → 2
Эйлеров путь, не цикл

Ответ

Эйлеров путь, не цикл

Эйлеров путь начинается в одной нечётной вершине и заканчивается в другой.

6.Теория графов

Ответ: d(F) = 24

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 13, C: 12
C (12): E: 20, G: 27
B (13): D: 20, G: 17
G (17)
D (20): F: 30
E (20): F: 24
F (24)

Кратчайший путь

A → C → E → F
d(F) = 24

Ответ

d(F) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms