Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково время работы поразрядной сортировки LSD для n целых чисел из d цифр в системе счисления с основанием k?

  1. AO(d(n + k))
  2. BO(dn log k)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Что последовало бы, если бы кто-то нашёл полиномиальный алгоритм для одной NP-полной задачи?

  1. AТолько эта одна задача перешла бы в P
  2. BКаждую задачу из NP можно было бы решить за полиномиальное время, то есть P = NP
  3. CПроблема остановки стала бы разрешимой
  4. DВсе алгоритмы с экспоненциальным временем сразу стали бы работать за линейное время
3.Структуры данныхСредняя

Сколько памяти занимают списки смежности для графа с V вершинами и E рёбрами?

  1. AO(V²)
  2. BO(V + E)
  3. CO(E²)
  4. DO(V × E)
4.Структуры данныхСложная

Чем radix-дерево (сжатое префиксное дерево) лучше обычного trie?

  1. AОно хранит каждое слово в хеш-таблице в корне вместо отдельных узлов
  2. BОно хранит только первую букву каждого слова
  3. CОно сортирует потомков каждого узла по частоте
  4. DОно сливает цепочки узлов с одним потомком в одно ребро, помеченное строкой
5.Теория графовСредняя

Сколько различных гамильтоновых циклов, H, в полном графе K4? Циклы, отличающиеся только начальной вершиной или направлением, считаются одним и тем же.

K4
H =
6.Теория графовСложная
1491171320111910ABCDEFG

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · O(d(n + k))

Почему это ответ

Каждый из d проходов — сортировка подсчётом стоимостью O(n + k), поэтому при фиксированных d и k итог линеен по n.

Ответ

A · O(d(n + k))
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Каждую задачу из NP можно было бы решить за полиномиальное время, то есть P = NP

Почему это ответ

Поскольку весь класс NP сводится к любой NP-полной задаче за полиномиальное время, быстрый алгоритм для одной даёт быстрый алгоритм для всех.

Ответ

B · Каждую задачу из NP можно было бы решить за полиномиальное время, то есть P = NP
3.Структуры данных

Ответ: B · O(V + E)

Почему это ответ

У каждой вершины есть список, а каждое ребро встречается один раз (ориентированный граф) или дважды (неориентированный), что даёт O(V + E).

Ответ

B · O(V + E)
4.Структуры данных

Ответ: D · Оно сливает цепочки узлов с одним потомком в одно ребро, помеченное строкой

Почему это ответ

Сжатие путей без ветвлений уменьшает число узлов и расход памяти, сохраняя поиск по префиксу.

Ответ

D · Оно сливает цепочки узлов с одним потомком в одно ребро, помеченное строкой
5.Теория графов

Ответ: H = 3

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Посчитайте

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Ответ

H = 3
6.Теория графов

Ответ: W = 68

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

BC (1): берём
AC (9): берём
GE (10): берём
GC (11): берём
CE (13): пропускаем, замыкает цикл
AB (14): пропускаем, замыкает цикл
BD (17): берём
GD (19): пропускаем, замыкает цикл
DF (20): берём

Суммарный вес

W = 1 + 9 + 10 + 11 + 17 + 20 = 68

Ответ

W = 68

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms