Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Каково решение рекуррентного соотношения T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Задача о рюкзаке 0/1, решаемая динамическим программированием, требует O(nW) времени. Почему это называют псевдополиномиальным временем?

  1. AПотому что n всегда мало
  2. BПотому что алгоритм рандомизированный, и время его работы меняется для каждого входа
  3. CW — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W
  4. DПотому что он работает только при W = 0
3.Структуры данныхСредняя

Какова временная сложность поиска ключа в сбалансированном двоичном дереве поиска?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
4.Структуры данныхСложная

Какие операции поддерживает за O(log n) дерево Фенвика (binary indexed tree) над массивом из n чисел?

  1. AСортировку массива и двоичный поиск
  2. BПоиск медианы за O(1)
  3. CВставку элементов в любую позицию
  4. DЗапросы префиксных сумм и обновления отдельного элемента
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 3, 3 вершин степени 4, 4 вершин степени 5, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 33 × deg 44 × deg 5
L =
6.Теория графовСложная
1115111585139ABCDEF

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(D) кратчайшего пути от A до D во взвешенном графе.

начало: Aконец: D
d(D) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · O(n²)

Почему это ответ

Работа в сумме составляет около n² / 2; это рекуррентное соотношение сортировки выбором или быстрой сортировки с худшим опорным элементом.

Ответ

B · O(n²)
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · W — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W

Почему это ответ

Время работы полиномиально относительно значения W, но экспоненциально относительно его длины (log W битов); задача о рюкзаке 0/1 является NP-полной.

Ответ

C · W — число, поэтому время экспоненциально относительно количества битов, используемых для записи W
3.Структуры данных

Ответ: C · O(log n)

Почему это ответ

Сбалансированное дерево имеет высоту около log₂ n, поэтому поиск проходит по одному пути от корня до листа.

Ответ

C · O(log n)
4.Структуры данных

Ответ: D · Запросы префиксных сумм и обновления отдельного элемента

Почему это ответ

Дерево Фенвика хранит частичные суммы по диапазонам, определяемым младшими битами каждого индекса, поэтому и префиксные суммы, и точечные обновления занимают O(log n).

Ответ

D · Запросы префиксных сумм и обновления отдельного элемента
5.Теория графов

Ответ: L = 24

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 44 = 2(L + 11) − 2
L = 24

Ответ

L = 24

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: d(D) = 25

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 11, C: 15
B (11): D: 26, E: 20
C (15)
E (20): D: 25
D (25): F: 38
F (38)

Кратчайший путь

A → B → E → D
d(D) = 25

Ответ

d(D) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms