Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какое жадное правило в задаче о выборе заявок всегда даёт максимальное число непересекающихся заявок?

  1. AВыбрать заявку, которая начинается раньше всех
  2. BСначала выбрать заявку с наименьшим числом пересечений, затем повторить с совместимыми
  3. CВыбрать заявку, которая заканчивается раньше всех, затем повторить с совместимыми
  4. DСначала выбрать самую короткую заявку
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Какова амортизированная стоимость инкремента двоичного счётчика, если один инкремент может изменить много битов?

  1. AO(log n) на инкремент
  2. BO(1) на инкремент
  3. CO(n) на инкремент
  4. DO(n log n) на инкремент
3.Структуры данныхСредняя

Как работает extract-min в двоичной min-куче?

  1. AПоследний элемент перемещают в корень и опускают вниз (sift down)
  2. BИщут новый минимум среди всех листьев
  3. CУдаляют последний элемент массива
  4. DУдаляют корень и сдвигают все элементы на одну позицию влево
4.Структуры данныхСложная

В BST с корнем 50, левым поддеревом 30 (потомки 20, 40) и правым поддеревом 70 (потомки 60, 80) корень удаляют с помощью in-order преемника. Какой ключ станет новым корнем?

  1. A60
  2. B80
  3. C40
  4. D70
5.Теория графовСредняя

У дерева 4 вершин степени 3, 4 вершин степени 4, 2 вершин степени 2, а все остальные его вершины — листья (степень 1). Сколько у него листьев, L?

4 × deg 34 × deg 42 × deg 2
L =
6.Теория графовСложная
ABCDEF

Сколько существует замкнутых маршрутов длины 2, начинающихся и заканчивающихся в C? Маршрут может повторять вершины и рёбра. Обозначим это число N.

M = матрица смежностиL = 2
N =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: C · Выбрать заявку, которая заканчивается раньше всех, затем повторить с совместимыми

Почему это ответ

Оптимальность выбора по самому раннему времени окончания доказывается аргументом обмена; для остальных правил есть контрпримеры.

Ответ

C · Выбрать заявку, которая заканчивается раньше всех, затем повторить с совместимыми
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · O(1) на инкремент

Почему это ответ

За n инкрементов бит i меняется около n / 2ⁱ раз, поэтому всего меньше 2n изменений, в среднем O(1) на каждый.

Ответ

B · O(1) на инкремент
3.Структуры данных

Ответ: A · Последний элемент перемещают в корень и опускают вниз (sift down)

Почему это ответ

Последний элемент заполняет «дыру» в корне и меняется местами с меньшим потомком, пока не выполнится свойство кучи; это занимает O(log n).

Ответ

A · Последний элемент перемещают в корень и опускают вниз (sift down)
4.Структуры данных

Ответ: A · 60

Почему это ответ

Самый левый узел правого поддерева — 60, поэтому 60 заменяет 50, а его прежняя позиция удаляется; при использовании предшественника получилось бы 40.

Ответ

A · 60
5.Теория графов

Ответ: L = 14

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Лемма о рукопожатиях для дерева

L + 32 = 2(L + 10) − 2
L = 14

Ответ

L = 14

Короткий путь: L = 2 + Σ (d − 2) по вершинам степени d ≥ 3.

6.Теория графов

Ответ: N = 3

Степени: степень вершины — это число рёбер, которые в ней сходятся. У каждого ребра два конца, поэтому степени в сумме дают удвоенное число рёбер: Σ deg(v) = 2|E| (лемма о рукопожатиях). Следовательно, число вершин нечётной степени чётно. У Kn имеется n(n − 1)/2 рёбер, у k-регулярного графа на n вершинах nk/2, а у дерева на n вершинах n − 1 ребро.

Матрица смежности

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Общие соседи

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 3

Ответ

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms