Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях: Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярный граф: |E| = n·k/2
Дерево и лес: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер: цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в K_n: (n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L: (Mᴸ)_ij

Метод

Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Сколько памяти стека использует простая рекурсивная функция факториала fact(n) = n × fact(n − 1)?

AO(1)
BO(n²)
CO(log n)
DO(n)

2.Алгоритмы и сложностьСложная

Что нужно сделать, чтобы показать, что новая задача X NP-трудна?

AСвести X к известной NP-трудной задаче за полиномиальное время
BСвести известную NP-трудную задачу к X за полиномиальное время
CПоказать, что X можно проверить за полиномиальное время
DПоказать, что у X нет полиномиального алгоритма для малых входов

3.Структуры данныхСредняя

Сколько узлов в идеальном (perfect) двоичном дереве высоты h, если высота считается в рёбрах?

A2^h
B2^h+1 − 1
C2h + 1
Dh²

4.Структуры данныхСложная

Структура union-find (система непересекающихся множеств) с объединением по рангу и сжатием путей имеет амортизированную стоимость операции:

AO(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа
BO(n)
CO(n²)
DРовно O(log n)

5.Теория графовСредняя

Связный граф имеет 8 вершин и 15 рёбер. Сколько рёбер, k, нужно удалить, чтобы осталось остовное дерево?

|V| = 8|E| = 15

k =

6.Теория графовСложная

С помощью алгоритма Дейкстры найдите длину d(F) кратчайшего пути от A до F во взвешенном графе.

начало: Aконец: F

d(F) =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: D · O(n)

Почему это ответ

Глубина рекурсии — n вызовов до первого возврата, и каждому вызову нужен кадр стека, поэтому используется O(n) памяти.

Ответ

D · O(n)

2.Алгоритмы и сложность

Ответ: B · Свести известную NP-трудную задачу к X за полиномиальное время

Почему это ответ

Если известную трудную задачу можно эффективно преобразовать в X, то быстрый алгоритм для X решал бы и известную задачу.

Ответ

B · Свести известную NP-трудную задачу к X за полиномиальное время

3.Структуры данных

Ответ: B · 2^h+1 − 1

Почему это ответ

Сумма 1 + 2 + 4 + ... + 2^h равна 2^h+1 − 1; например, высота 2 даёт 7 узлов.

Ответ

B · 2^h+1 − 1

4.Структуры данных

Ответ: A · O(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа

Почему это ответ

С обеими оптимизациями операции выполняются за амортизированное время O(α(n)); α(n) ≤ 4 для любого реалистичного n.

Ответ

A · O(α(n)), обратная функция Аккермана, практически константа

5.Теория графов

Ответ: k = 8

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в K_n их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Рёбра остовного дерева

8 − 1 = 7

Рёбра для удаления

k = 15 − 7 = 8

Ответ

k = 8

6.Теория графов

Ответ: d(F) = 18

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстры по шагам

В каждой строке: зафиксированная вершина, её окончательное расстояние и соседи, у которых расстояние улучшается.

A (0): B: 7, C: 3

C (3)

B (7): D: 14, E: 19

D (14): F: 18

F (18)

E (19)

Кратчайший путь

A → B → D → F

d(F) = 18

Ответ

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms