Алгоритмы и структуры данных: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (6) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Теория графов

Лемма о рукопожатиях
Σ deg(v) = 2|E|
Полные графы
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярный граф
|E| = n·k/2
Дерево и лес
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листья дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Эйлер
цикл: все степени чётные; путь: ровно две нечётные степени
Гамильтоновы циклы в Kn
(n − 1)!/2
Обновление в алгоритме Дейкстры
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршруты длины L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Запишите степень каждой вершины; сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
  2. В задачах об эйлеровых путях проверьте, что граф связный, и посчитайте вершины нечётной степени.
  3. Для деревьев используйте n − 1 ребро и лемму о рукопожатиях.
  4. В алгоритме Дейкстры ведите таблицу предварительных расстояний и на каждом шаге фиксируйте нефиксированную вершину с наименьшим расстоянием.
  5. Для минимального остовного дерева отсортируйте рёбра по весу и пропускайте каждое ребро, замыкающее цикл (Краскал), либо растите одно дерево из начальной вершины (Прим).

2Тренировочные задачи

1.Алгоритмы и сложностьСредняя

Какое жадное правило в задаче о выборе заявок всегда даёт максимальное число непересекающихся заявок?

  1. AВыбрать заявку, которая заканчивается раньше всех, затем повторить с совместимыми
  2. BСначала выбрать самую короткую заявку
  3. CВыбрать заявку, которая начинается раньше всех
  4. DСначала выбрать заявку с наименьшим числом пересечений, затем повторить с совместимыми
2.Алгоритмы и сложностьСложная

Почему бинарный поиск не даёт времени O(log n) на односвязном списке?

  1. AЧтобы добраться до среднего элемента, нужно O(n) шагов, поскольку нет прямого доступа по индексу
  2. BБинарному поиску нужно как минимум вдвое больше памяти
  3. CСвязные списки нельзя сортировать
  4. DСравнения узлов связного списка медленнее
3.Структуры данныхСредняя

Сколько времени занимает поиск слова длины L в префиксном дереве (trie) с фиксированным алфавитом?

  1. AO(log n), где n — число слов
  2. BO(n), где n — число слов
  3. CO(L), независимо от числа хранимых слов
  4. DO(L × n)
4.Структуры данныхСложная

Ключи 5, 3, 8, 1 вставляются в таком порядке в пустую двоичную min-кучу на массиве. Каков итоговый массив?

  1. A[1, 3, 5, 8]
  2. B[1, 5, 8, 3]
  3. C[1, 3, 8, 5]
  4. D[3, 1, 8, 5]
5.Теория графовСредняя
ABCDEЭйлеров циклЭйлеров путь, не циклни то, ни другое

Есть ли в связном графе эйлеров цикл, эйлеров путь, не являющийся циклом, или ни то ни другое? Нажмите на ваш ответ.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Эйлеров цикл
  2. 2Эйлеров путь, не цикл
  3. 3ни то, ни другое
6.Теория графовСложная
17104137122016ABCDEF

Найдите суммарный вес W минимального остовного дерева взвешенного графа.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Растворы

1.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Выбрать заявку, которая заканчивается раньше всех, затем повторить с совместимыми

Почему это ответ

Оптимальность выбора по самому раннему времени окончания доказывается аргументом обмена; для остальных правил есть контрпримеры.

Ответ

A · Выбрать заявку, которая заканчивается раньше всех, затем повторить с совместимыми
2.Алгоритмы и сложность

Ответ: A · Чтобы добраться до среднего элемента, нужно O(n) шагов, поскольку нет прямого доступа по индексу

Почему это ответ

Бинарному поиску нужен доступ к середине за O(1); в связном списке путь туда стоит линейного времени, поэтому итог O(n).

Ответ

A · Чтобы добраться до среднего элемента, нужно O(n) шагов, поскольку нет прямого доступа по индексу
3.Структуры данных

Ответ: C · O(L), независимо от числа хранимых слов

Почему это ответ

Каждый символ выбирает одного потомка, поэтому поиск занимает L шагов, сколько бы слов ни содержало дерево.

Ответ

C · O(L), независимо от числа хранимых слов
4.Структуры данных

Ответ: C · [1, 3, 8, 5]

Почему это ответ

После 5, 3, 8 массив равен [3, 5, 8]; 1 попадает в индекс 3, меняется местами с родителем 5, а затем с 3, что даёт [1, 3, 8, 5].

Ответ

C · [1, 3, 8, 5]
5.Теория графов

Ответ: Эйлеров цикл

Эйлер, Гамильтон и деревья: связный граф имеет эйлеров цикл (каждое ребро один раз, с возвратом в начало), когда все вершины имеют чётную степень, и эйлеров путь, не являющийся циклом, когда ровно две вершины имеют нечётную степень; тогда путь идёт от одной нечётной вершины к другой. Гамильтонов цикл посещает каждую вершину один раз; в Kn их (n − 1)!/2. У дерева на n вершинах n − 1 ребро, а связный граф с m рёбрами сохраняет остовное дерево после удаления m − n + 1 рёбер.

Степени

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Нечётные вершины

0
Эйлеров цикл

Ответ

Эйлеров цикл
6.Теория графов

Ответ: W = 50

Кратчайшие пути и остовные деревья: алгоритм Дейкстры фиксирует по одной вершине на шаге: нефиксированную вершину с наименьшим предварительным расстоянием. Её расстояние становится окончательным, а каждый сосед v получает d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Краскала строит минимальное остовное дерево, беря рёбра от лёгких к тяжёлым и пропуская любое ребро, которое замкнуло бы цикл; алгоритм Прима растит одно дерево из начальной вершины, всегда добавляя самое лёгкое ребро, выходящее из него. В остовном дереве на n вершинах n − 1 ребро.

Алгоритм Краскала

BD (4): берём
DE (7): берём
BC (10): берём
DF (12): берём
CE (13): пропускаем, замыкает цикл
BE (16): пропускаем, замыкает цикл
AB (17): берём

Суммарный вес

W = 4 + 7 + 10 + 12 + 17 = 50

Ответ

W = 50

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms